Cho đường tròn (O; R) và hai bán kính OA, OB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt là các điểm M, N sao cho OM = ON

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài: Cho đường tròn (O; R) và hai bán kính OA, OB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt là các điểm M, N sao cho OM = ON. Vẽ dây CD qua M và N (M nằm giữa C và N).

1. Chứng minh rằng CM = DN.

2. Giả sử $\widehat{AOB}=90°$ , hãy tính OM, ON theo R sao cho CM = MN = ND.

Lời giải:

a) Hạ OE vuông góc với AB cắt CD tại F

Trong tam giác OAB cân tại O ta có:

$\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OB}\Rightarrow MN\parallel AB\Rightarrow OF\perp MN$

Và MF = NF

Ta nhận xét thêm:

OF ⊥ MN ⇔ OF ⊥ CD ⇔ CF ⊥ DF

Khi đó: CM = CF – MF = DF – NF = DN (đpcm)

b) Đặt MF = x, suy ra:

CF = CM + MF = MN + MF = 3MF = 3x

OF = x, vì tam giác OMF vuông cân tại F

Trong tam giác OCF, ta có:

OF² = OC² – CF²

⇔ x² = R² – 9x²

⇔ 10x² = R²

⇔ x =$\frac{R}{\sqrt{10}}$

Khi đó ta được:

ON = OM = OF

Vậy với OM = ON =$\sqrt{2}=\frac{R}{\sqrt{10}}.\sqrt{2}=\frac{R}{\sqrt{5}}$ thỏa mãn điều kiện bài toán