Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a^2 + b^2 + c^2 = 1. Tìm GTLN của M = ab + bc + 2ac

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 102)

Đề bài. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² = 1.

Tìm GTLN của M = ab + bc + 2ac.

Lời giải:

Ta có: M = ab + bc + 2ac = (a + c)b + 2c

$\le \sqrt{2\left(a^2+c^2\right)b}+a^2+c^2=\sqrt{2\left(1-b^2\right)b}+1-b^2=f\left(b^2\right)$

Với hàm số f(t) = $\sqrt{2\left(1-t\right)t}+1-t,t\in \left[0;1\right]$

Ta có: $f\text{'}\left(t\right)=\frac{1-2t}{\sqrt{2\left(1-t\right)t}}-1=0$

⇔ $t=\frac{3-\sqrt{3}}{6}=t_0$

Từ đó f(t) đồng biến trên ( 0 , t0) và nghịch biến trên (t₀, 1)

Suy ra: $\max f\left(t\right)=f\left(\frac{3-\sqrt{3}}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ tức là $\max P=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ chẳng hạn $b=\pm \sqrt{t_0}$

Và $a=c=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1-{t_0}^2}$.