Tính tổng các nghiệm trong đoạn [0; 30] của phương trình tanx = tan3x

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 947 19/10/2024

Trang trước

Trang sau

Tính tổng các nghiệm trong đoạn [0; 30] của phương trình tanx = tan3x

Đề bài: Tính tổng các nghiệm trong đoạn [0; 30] của phương trình tanx = tan3x (1)

* Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định cho hàm tan3x và tanx rồi kết hợp lại ra được điều kiện của bài

- Áp dụng các tính chất về hàm lượng giác để giải bài toán. Do x thuộc đoạn từ 0 - 30 nên k sẽ chạy từ 0 đến 9

*Lời giải:

Điều kiện để (1) có nghĩa: $\{\begin{matrix} \cos x \neq 0 \\ \cos 3 x \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \neq \frac{π}{2} + k π \\ x \neq \frac{π}{6} + \frac{k π}{3} \end{matrix}, k \in ℤ$

Khi đó (1) trở thành $3 x = x + k π, k \in ℤ \Leftrightarrow x = \frac{k π}{2}, k \in ℤ$

So sánh với điều kiện $\Rightarrow x = k π, k \in ℤ$

Mà $x \in [0; 30]$ nên $0 \leq k π \leq 30 \Rightarrow k \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$

Các nghiệm của PT có trong khoảng trên là $x \in \{0; π; 2 π; 3 π; ...; 9 π\}$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là $0 + π + 2 π + 3 π + ... + 9 π = 45 π$ .

* Một số phương trình lượng giác thường gặp:

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất;bậc hai của một hàm số lượng giác trên khoảng; đoạn ta làm như sau:

+ Bước 1. Giải phương trình bậc nhất; bậc hai của một hàm số lương giác( chú ý có thể phải sử dụng các công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổ tổng thành tích; tích thành tổng để giải phương trình )

+ Bước 2: Xét họ nghiệm trên khoảng (a; b) để tìm các giá trị k nguyên thỏa mãn điều kiện.

a) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

*Phương pháp giải:

Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình dạng at+b=0 (1) cho a, ta đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.

b) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

*Phương pháp giải:

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

c) Phương trình sinx = m

Phương trình sinx=m có nghiệm khi và chỉ khi $| m | \leq 1$ .

Khi $| m | \leq 1$ sẽ tồn tại duy nhất $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ thoả mãn $\sin α = m$ . Khi đó:

$s i n x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin α$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α + k 2 π \\ x = π - α + k 2 π \end{array} (k \in Z)$

Nếu số đo của góc $α$ được cho bằng đơn vị độ thì $\sin x = \sin α^{o} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α^{o} + k 360^{o} \\ x = 180^{o} - α^{o} + k 360^{o} \end{array} (k \in Z)$

$\sin x = \sin α^{o} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α^{o} + k 360^{o} \\ x = 180^{o} - α^{o} + k 360^{o} \end{array} (k \in Z)$

Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{l} \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k π, k \in Z . \\ \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in Z . \\ \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π, k \in Z . \end{array}$

Phương trình $c o s x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $| m | \leq 1$ .

Khi $| m | \leq 1$ sẽ tồn tại duy nhất $α \in [0; π]$ thoả mãn $c o s α = m$ . Khi đó:

$c o s x = m \Leftrightarrow c o s x = c o s α$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α + k 2 π \\ x = - α + k 2 π \end{array} (k \in Z)$

Nếu số đo của góc $α$ được cho bằng đơn vị độ thì $\cos x = \cos α^{o} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α^{o} + k 360^{o} \\ x = - α^{o} + k 360^{o} \end{array} (k \in Z)$

$\cos x = \cos α^{o} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α^{o} + k 360^{o} \\ x = - α^{o} + k 360^{o} \end{array} (k \in Z)$

Một số trường hợp đặc biệt:

$\begin{array}{l} c o s x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z . \\ c o s x = 1 \Leftrightarrow x = k 2 π, k \in Z . \\ c o s x = - 1 \Leftrightarrow x = π + k 2 π, k \in Z . \end{array}$