Chứng minh rằng nếu (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) = (ax + by + cz)^2 với x, y, z khác 0

Chứng minh rằng nếu (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) = (ax + by + cz)² với x, y, z khác 0

Đề bài: Chứng minh rằng nếu (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) = (ax + by + cz)² với x, y, z khác 0 thì $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$.

Lời giải:

Ta có: (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) = (ax + by + cz)²

⇔ a²x² + a²y² + a²z² + b²y² + b²z² + c²x² + c²y² + c²z² = a²x² + b²y² + c²z² + 2axby + 2axcz + 2bycz

⇔ a²y² + a²z² + b²x² + b²z² + c²x² + c²y² – 2axby – 2axcz – 2bycz = 0

⇔ (a²y² – 2axby + b²x²) + (a²z² – 2axcz + c²x²) + (b²z² – 2bycz + c²y²) = 0

⇔ (ay – by)² + (az – cx)² + (bz – cy)² = 0

Vì (ay – bx)² ≥ 0; (az – cx)² ≥ 0; (bz – cy)² ≥ 0 nên

(ay – by)² + (az – cx)² + (bz – cy)² ≥ 0

Vậy dấu “=” xảy ra khi:

$\left\{\begin{array}{l}ay=bx\\ az=cx\\ bz=cy\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\\ \frac{a}{x}=\frac{c}{z}\\ \frac{b}{y}=\frac{c}{z}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$ (xyz ≠ 0). (đpcm)

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: