Cho hai số dương a, b và a + b = 1. Chứng minh

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 581 02/02/2024

Trang trước

Trang sau

Cho hai số dương a, b và a + b = 1. Chứng minh

Đề bài: Cho hai số dương a, b và a + b = 1. Chứng minh $A = 8 (a^{4} + b^{4}) + \frac{1}{a b} \geq 5$ .

Lời giải:

Ta có: a + b = 1 ⇔ a² + b² + 2ab = 1.

Mà a² + b² – 2ab ≥ 0 nên $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$

$\Rightarrow a^{4} + 2 a^{2} b^{2} + b^{4} \geq \frac{1}{4}$

Mà a⁴ – 2a²b² + b⁴ ≥ 0

$\Rightarrow 2 (a^{4} + b^{4}) \geq \frac{1}{4}$

$\Rightarrow a^{4} + b^{4} \geq \frac{1}{8}$ (*)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$

$\Rightarrow a b \leq \frac{a + b}{4} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{1}{a b} \geq \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$ (**)

Cộng vế với vế của (*) và (**) suy ra $A = 8 (a^{4} + b^{4}) + \frac{1}{a b} \geq 1 + 4 = 5$ (đpcm).

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

Tìm ƯCLN của: a) 10; 20 và 70...

Tìm ƯCLN và tập hợp ước chung của các số sau: a) 10; 20; 70 ...

Tìm điều kiện của a và b để M xác định và rút gọn M ...

Tìm điều kiện để a, b để A = [a; a + 1] giao B = [b – 1; b + 2] khác rỗng ...

Giá trị của m để đồ thị hàm số y = (m – 1)x + m cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 ...

Cho hàm số y = (m – 1)x + m ...

Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn đường kính BC cắt AB tại N, AC tại M ...

Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành biết A(4; 3), B(−1; 2), C(1; −1 ...

Trong mặt phẳng Oxy, cho A(−2; 0); B(5; −4); C(−5; 1). Tọa độ điểm D ...

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta luôn có: a^2 + b^2 ≥ 2ab ...

Chứng minh rằng a^2 + ab + b^2 ≥ 0 với mọi số thực a, b ...

Rút gọn biểu thức: A = 1 / (căn 1 + căn 2) + 1 / (căn 3 + căn 4)...

Đổi một số đơn vị sau: a) … km/h = 5 m/s ...

Cho hàm số y = (lnx - 6) / (lnx - 2m) với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị ...

Cho hàm số y = (lnx - 4) / (lnx - 2m) với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị ...

Số điểm biểu diễn của nghiệm của phương trình sin (2x + pi/3) = 1/2 ...

Trên đường tròn lượng giác số điểm biểu diễn tập nghiệm của phương trình ...

Tính chu vi tam giác ABC biết AB = 6 và 2sinA = 3sinB = 4sinC ...

Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x(x – 1) – y(1 – x ...

Tính giá trị của biểu thức: x(x – 1) – y(1 – x) tại x = 2001 và y = 1999 ...

Cho hàm số y = (2m – 1)x – m + 2. Tìm m để đồ thị hàm số đi qua A(1; 2 ...

Cho hàm số y = (2 + m)x – 4 ...

Cho tam giác ABC có góc A = 80 độ, góc B = 50 độ ...

Cho hình thang cân ABCD (AB//CD). Gọi E là trung điểm cạnh AB ...

Cho hình thang ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA ...

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu ...

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin^2x + 2cos^2x ...

Cho hàm số y = kx + 3 – 2x + k. a) Xác định k để hàm số là hàm bậc nhất đồng biến ...

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 40 m, chiều dài hơn chiều rộng 400 cm ...

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 40 m. Nếu tăng chiều rộng thêm 2 m ...

Cho parabol (P): y = −2x^2 và đường thẳng (d): y= (m + 1)x – m – 3 ...

Vẽ đường thẳng (d1): y = 2x + 3 và (d2) : y = (m + 1)x + 5 khi m = 2 ...

Cho phương trình (m + 1)x^2 + 2mx + m – 1 = 0 ...

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài vectơ ...

Viết phương trình đường thăng (d) đi qua điểm A(1; 1) và cách điểm B(−2; 2 ...

Xác định a, b, c biết parabol y = ax^2 + bx + c đi qua điểm A(8; 0 ...

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số: y = ln(x^2 – 2mx + 4) có tập xác định là ℝ ...

Cho hai số dương a, b và a + b = 1. Chứng minh ...

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Khi đó giá trị ...

Cho hình bình hành ABCD. Gọi d là đường thẳng qua A và không cắt đoạn thẳng BD ...

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy AD và BC ...

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu tổng hai số a + b > 2 thì có ít nhất một số lớn hơn 1 ...

x thuộc Ư(42) và x > 5 ...

Tìm ước của 15; 42 và ƯC(15, 42 ...

Cho tam giác ABC M(1; 1), N(2; 3), P(0; 4) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB ...

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, N là điểm trên nửa đường tròn ...

Một bình chứa 16 viên bi trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ ...

Một bình chứa 16 viên bi trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ ...

Một tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm ...

Chọn A(3; 4), B(2; 5). Tìm m để điểm C(−7; m) thuộc đường thẳng AB ...

Cho biểu thức A = (x – 3)^3 – (x + 1)^3 + 12x(x – 1 ...

Tìm x, biết: 5x(4x^2 – 2x + 1) – 2x(10x^2 – 5x + 2) = −36 ...

Cho ba điểm A(1; 1), B(3; 2), C(m + 4; 2m + 1). Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng ...

Chứng minh rằng nếu (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) = (ax + by + cz)^2 với x, y, z khác 0 ...

1 581 02/02/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: