Cho x, y, z khác 0 và x khác y khác z thỏa mãn x^2 – xy = y^2 – yz = z^2 – zx = a

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 99)

Đề bài. Cho x, y, z khác 0 và x khác y khác z thỏa mãn x² – xy = y² – yz = z² – zx = a.

a) Chứng minh rằng a khác 0.

b) Chứng minh: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$.

Lời giải:

a) a = x² – xy = x(x – y)

Vì x khác 0 vì x khác y nên x – y ≠ 0

Suy ra: x(x – y) ≠ 0

Vậy a ≠ 0.

b) Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-xy=y^2-yz\left(1\right)\\ y^2-yz=z^2-zx\left(2\right)\\ z^2-zx=x^2-xy\left(3\right)\end{array}\right.$

Lấy (3) trừ (1): 2xy = xz + yz – z² + 2x² – y²

Lấy (3) trừ (2): 2zx = xy + yz + 2z² – x² – y²

Lấy (2) trừ (1): 2yz = 2y² + xy + xz – x² – z²

Cộng lại ta được: yz + xz + xy = 0 do đó: $\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0\iff \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$.