Cho hình thang vuông ABCD (gốc A = góc D = 90 độ), có CD = 2AB

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 99)

Đề bài. Cho hình thang vuông ABCD ($\widehat{A}=\widehat{D}=90°$), có CD = 2AB, gọi H là hình chiếu của D trên AC, M là trung điểm của HC. Chứng minh $\widehat{BMD}=90°$.

Lời giải:

Gọi E là trung điểm HD

Ta có: EM là đường trung bình của tam giác HDC

Nên: EM // DC và EM = $\frac{1}{2}DC=AB$

Xét tứ giác ABME có: AB // EM // CD

AB = EM

Nên ABME là hình bình hành

Suy ra: BM // AE (1)

Lại có: Xét trong tam giác ADM có: DH ⊥ AM (giả thiết); EM ⊥ AD (vì AD ⊥ AB mà AB // EM)

Nên E là trực tâm của tam giác ADM

Suy ra: AE ⊥ DM (2)

Từ (1) và (2): BM ⊥ DM hay $\widehat{BMD}=90°$.