Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có: A = 1^5 + 2^5 + … + n^5 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + … + n

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 99)

Đề bài. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có: A = 1⁵ + 2⁵ + … + n⁵ chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + … + n.

Lời giải:

Ta xét B = 1 + 2 + 3 + … + n = $\frac{n\left(n+1\right)}{2}$

2A = (n⁵ + 1) + [(n – 1)⁵ + 2⁵] + [(n – 2)⁵ + 3⁵] + … + (1 + n⁵)

Nhận thấy mỗi số hạng của 2A đều chia hết cho (n + 1) nên 2A ⋮ (n + 1) (1)

Lại có: 2A – 2n⁵ = [(n – 1)⁵ + 1⁵] + [(n – 2)⁵ + 2⁵] + … chia hết cho n

Do 2n⁵ ⋮ n nên 2A ⋮ n (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2A ⋮ n(n + 1) do đó 2A ⋮ 2B hay A ⋮ B.