Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh

abc(1 + a²)(1 + b²)(1 + c²) ≤ 8.

Lời giải:

abc(1 + a²)(1 + b²)(1 + c²) ≤ 8

⇔ a(1 + a²).b(1 + b²).c(1 + c²) ≤ 8

Ta có: 2a(1 + a²) ≤ $\frac{{\left[2a+\left(1+a^2\right)\right]}^2}{4}=\frac{{\left(a+1\right)}^4}{4}$ ⇔ a(1 + a²) ≤ $\frac{{\left(a+1\right)}^4}{8}$

2b(1 + b²) ≤ $\frac{{\left[2b+\left(1+b^2\right)\right]}^2}{4}=\frac{{\left(b+1\right)}^4}{4}$ ⇔ b(1 + b²) ≤ $\frac{{\left(b+1\right)}^4}{8}$

2c(1 + c²) ≤ $\frac{{\left[2c+\left(1+c^2\right)\right]}^2}{4}=\frac{{\left(c+1\right)}^4}{4}$ ⇔ c(1 + c²) ≤$\frac{{\left(c+1\right)}^4}{8}$

Suy ra: a(1 + a²).b(1 + b²).c(1 + c²) ≤ $\frac{{\left(a+1\right)}^4}{8}.\frac{{\left(b+1\right)}^4}{8}.\frac{{\left(c+1\right)}^4}{8}$

Mà (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≤ $\frac{{\left(a+1+b+1+c+1\right)}^3}{27}=\frac{{\left(a+b+c+3\right)}^3}{27}=8$

Suy ra: a(1 + a²).b(1 + b²).c(1 + c²) ≤ $\frac{8^4}{\mathrm{8.8.8}}=8$

Dấu “=” xảy ra khi: $\left\{\begin{array}{l}{\left(a-1\right)}^2=0\\ a=b=c\\ a+b+c=3\end{array}\right.\iff a=b=c=1$