Cho biểu thức P = (x^2 + x) / (x^2 - 2x + 1)

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 478 02/02/2024

Trang trước

Trang sau

Cho biểu thức P = (x^2 + x) / (x^2 - 2x + 1)

Đề bài: Cho biểu thức $P = \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 2 x + 1} : (\frac{x + 1}{x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{2 - x^{2}}{x^{2} - x})$ .

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để P < 1.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 2.

Lời giải:

a) $P = \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 2 x + 1} : (\frac{x + 1}{x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{2 - x^{2}}{x^{2} - x})$

$= \frac{x (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} : [\frac{x + 1}{x} + \frac{1}{x - 1} + \frac{2 - x^{2}}{x (x - 1)}] = \frac{x (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} : [\frac{(x + 1) (x - 1) + x + 2 - x^{2}}{x (x - 1)}] = \frac{x (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} : \frac{x + 1}{x (x - 1)} = \frac{x (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} . \frac{x (x - 1)}{x + 1} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

b) Ta có $P < 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x - 1} < 1$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x - 1} - 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1} < 0$

$\Leftrightarrow \frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}}{x - 1} < 0 \Leftrightarrow x - 1 < 0$ (vì ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0, \forall x \in ℝ$ ).

⇔ x < 1.

Vậy x < 1 thì P < 1.

c) Vì x > 2 nên x – 2 > 0.

Do đó x – 1 > x – 2 > 0.

Ta có $P = \frac{x^{2}}{x - 1} = \frac{x^{2} - 1 + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1} = x - 1 + \frac{1}{x - 1} + 2$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$x - 1 + \frac{1}{x - 1} \geq 2 \sqrt{\frac{x - 1}{x - 1}} = 2 \sqrt{1} = 2, \forall x > 2$ .

$\Leftrightarrow x - 1 + \frac{1}{x - 1} + 2 \geq 2 + 2 = 4$ .

⇔ P ≥ 4.

Dấu “=” xảy ra ⇔ (x – 1)² = 1 ⇔ x – 1 = 1 hoặc x – 1 = –1.

⇔ x = 2 (loại vì x > 2) hoặc x = 0 (loại vì x > 2).

Vậy P không có giá trị nhỏ nhất khi x > 2.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

Giải phương trình: căn (x^3 + 1) = x^2 - 3x - 1...

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I la trung điểm AM ...

Chữ số tận cùng của kết quả 2^64 ...

Cho phương trình x^2 – 4x – m^2 – 1 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 ...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; –1) và B(3; 2). Tìm M ...

Giải phương trình: 4x / (x^2 + x + 3) + 5x / (x^2 - 5x +3) = -3/2 ...

Cho các chữ số 1, 2, 5, 7, 8. Có bao nhiêu cách lập ra một số gồm ba chữ số ...

Cho tam giác ABC, G là trọng tâm ...

Giải phương trình sinx = cos3x ...

Số cách chia 12 phần quà cho 3 bạn sao cho ai cũng có ít nhất 2 phần quà ...

Một trang trại cần thuê xe vận chuyển 450 con lợn và 35 tấn cám ...

Hãy rút gọn phân thức: (8x - 4) / (8x^3 - 1)...

Giải phương trình sau: (cos 4x - 6sin^2 x + 2) / (2sinx - 1)...

Tính nhanh: (317 + 49) – 117 ...

Phân tích đa thức thành nhân tử: x^4 + 2x^3 – 4x – 4 ...

Cho hàm số bậc nhất y = (m – 1)x + m + 1 (1 ...

Giải phương trình lượng giác: cos2x – cosx + 1 = 0 ...

Giải phương trình: cos2x + cosx + 1 = 0 ...

Cho x, y ∈ ℕ*. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = |36^x – 5y ...

Tìm x, biết 35 chia hết cho x ...

Tìm x, biết: (4/5) ^ (2x + 5) = 256/625 ...

Giải phương trình: sin^2 x - 3sinxcosx + 1 = 0 ...

Cho A = (5; 7] và B = [m; m+3). Tìm m để ...

Cho hai tập hợp A = [1; 3] và B = [m; m + 1]. Tìm m để B là tập con của A ...

Biết rằng parabol (P): y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) đi qua hai điểm A(0; –3), B(2; 1 ...

Chứng minh rằng 1 + tan^2 = 1/ cos^2 x ...

Giải phương trình lượng giác: tanx + cotx = 2 ...

Nghiệm của phương trình tanx + cotx = – 2 là ...

Rút gọn phân thức: (5x^2 + 10xy + 5y^2) / (3x^2 + 3y^2)...

Cho biểu thức P = (x^2 + x) / (x^2 - 2x + 1)...

Cho biểu thức A = (căn x - 1) / (căn x + 1)...

Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5...

Xét tính bị chặn của dãy số (un) với un = (2n + 1) / (n + 1)...

Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số...

Chứng minh sin2a = 2sina.cosa...

Chứng minh hệ thức sau: (sin alpha + cos alpha)^2 - (sin alpha - cos alpha)^2...

Một tổ chuyên môn tiếng Anh của trường đại học X gồm 7 thầy giáo...

Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy giáo và 5 cô giáo...

Cho A, B, C thẳng hàng và điểm M không thuộc đường thẳng đó...

Cho A = 7 / (căn x + 8) và B = (căn x + 8) / (căn x + 3)...

Cho A = (x^2 - 9) / 3(x + 5) và B = 3 / (x + 3)...

Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD, BC theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho...

Cô Hoàn mua 5 kg gạo tẻ và 5 kg gạo nếp. Giá 1 kg gạo tẻ là 9300 đồng...

Với những giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số y = 12x + (5 – m...

Cho hàm số y = (m + 2)x + 2m^2 + 1. Tìm m để 2 đường thẳng...

Một trang trại cần thuê xe vận chuyển 450 con lợn và 35 tấn cám...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; –1) và B(3; 2...

Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SA...

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x^2 – 5x + 7 + 2m = 0...

Tập xác định của hàm số y = cotx / (sinx - 1)...

1 478 02/02/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: