Cho a, b là các số nguyên dương và q = (a^2 + b^2)/ (ab + 1) là số nguyên

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho a, b là các số nguyên dương và q = $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ là số nguyên. Chứng minh rằng q là số chính phương.

Lời giải:

Giả sử q không phải là số chính phương

Xét tập S(q) = $\left\{\left.\left(a;b\right)\subset {\left({\mathbb{N}}^{*}\right)}^2\right|q=\frac{a^2+b^2}{ab+1}\right\}$ . Theo giả thiết S(q) ≠ ∅ nên theo nguyên lý cực hạn tồn tại cặp số (A; B) thuộc S(q) sao cho A + B nhỏ nhất.

Giả sử A ≥ B.

Xét phương trình q = $\frac{x^2+B^2}{Bx+1}\iff x^2-Bqx+B^2-q=0$

Rõ ràng A là một nghiệm của phương trình. Giả sử nghiệm còn lại là a.

Theo định lý Vi–ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}A+a=Bq\\ Aa=B^2-q\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}a=Bq-A\left(3\right)\\ a=\frac{B^2-q}{A}\left(4\right)\end{array}\right.$

Đến đây ta có thể đi đến kết luận A ≤ a.

Theo phương trình trên thì A² ≤ Aa = B² + 6 ⇔ (A – B)(A + B) ≤ 6.

Từ đó suy ra (A – B)(A + B) ∈ {0;1;2;3;4;5;6} với A ≥ B.

Từ đây kiểm tra được chỉ có cặp A = B = 1 thỏa mãn p là số nguyên dương

Khi đó: p = 8 là số lập phương

Như vậy với mọi số nguyên dương thỏa mãn điều kiện bài toán thì p = 8 (A = B = 1 chỉ là các số nhỏ nhất thỏa mãn tính chất này)

Vậy giả sử ban đầu là sai.

Vậy p là số chính phương.