Cho a, b là các số nguyên dương và q = (a^2 + b^2)/ (ab + 1) là số nguyên

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 193 17/02/2024

Trang trước

Trang sau

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho a, b là các số nguyên dương và q = $\frac{a^{2} + b^{2}}{a b + 1}$ là số nguyên. Chứng minh rằng q là số chính phương.

Lời giải:

Giả sử q không phải là số chính phương

Xét tập S(q) = $\{(a; b) \subset {(ℕ^{*})}^{2}| q = \frac{a^{2} + b^{2}}{a b + 1}\}$ . Theo giả thiết S(q) ≠ ∅ nên theo nguyên lý cực hạn tồn tại cặp số (A; B) thuộc S(q) sao cho A + B nhỏ nhất.

Giả sử A ≥ B.

Xét phương trình q = $\frac{x^{2} + B^{2}}{B x + 1} \Leftrightarrow x^{2} - B q x + B^{2} - q = 0$

Rõ ràng A là một nghiệm của phương trình. Giả sử nghiệm còn lại là a.

Theo định lý Vi–ét ta có: $\{\begin{cases} A + a = B q \\ A a = B^{2} - q \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = B q - A (3) \\ a = \frac{B^{2} - q}{A} (4) \end{array}$

Đến đây ta có thể đi đến kết luận A ≤ a.

Theo phương trình trên thì A² ≤ Aa = B² + 6 ⇔ (A – B)(A + B) ≤ 6.

Từ đó suy ra (A – B)(A + B) ∈ {0;1;2;3;4;5;6} với A ≥ B.

Từ đây kiểm tra được chỉ có cặp A = B = 1 thỏa mãn p là số nguyên dương

Khi đó: p = 8 là số lập phương

Như vậy với mọi số nguyên dương thỏa mãn điều kiện bài toán thì p = 8 (A = B = 1 chỉ là các số nhỏ nhất thỏa mãn tính chất này)

Vậy giả sử ban đầu là sai.

Vậy p là số chính phương.

Xem thêm các bài giải bộ 15000 câu hỏi Toán hay và chi tiết tại:

Xét xem dãy u_n = 3n – 1 có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội

Một vé xem phim có mức giá là 60000 đồng. Trong dịp khuyến mãi cuối năm 2018, số lượng người xem phim tăng lên 45% nên tổng doanh thu cũng tăng 8,75%. Hỏi rạp phim đã giảm giá mỗi vé bao nhiêu % so với giá bán ban đầu

Tính giá trị của biểu thức: P = (x – 10)² – x(x + 80) tại x = 0,87

Tính giá trị biểu thức A = 100 – 99 + 98 – 97 + … + 4 – 3 + 2

Cho a, b thuộc ℕ và (11a + 2b) chia hết cho 12. Chứng minh rằng: (a + 34b) chia hết cho 12

Phân tích đa thức thành nhân tử: 8(x + y + z)³ – (x + y)³ – (y + z)³ – (z + x)³

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC

Tìm m để hai đường thẳng (d₁) y = mx + 5 – m và (d₂) y = 3x + m – 1 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung

Tìm m để 2 đường thẳng (d) cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung cho hàm số y = (m + 2)x + 2m² + 1 tìm m để hai đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 2m² + 1 và (d'): y = 3x + 3 cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung

Tìm m để phương trình x² – (3m – 1)x + 2m² – m = 0 có nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn x₁ = x₂²

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) có đường cao AH. Gọi AD là phân giác của HAB.

a) Tính cạnh AH, AC biết HB = 18cm, HC = 8cm.

b) Chứng minh tam giác ADC cân và HD.BC = BD.DC.

c) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh

S_AEF= S_ABC.(1 – cos²B).sin²C

Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d): y = ax + b với a, b là hằng số. Tìm a, b biết: d đi qua điểm M(1; −2) và song song với đường thẳng d₁: y = 2x – 1

Tính 30% của 70

Cho hình bình hành ABCD và O là giao điểm của AC và BD. Trên đường chéo AC lấy 2 điểm M và N sao cho AM = MN = NC

a) Chứng minh: tứ giác BMDN là hình bình hành.

b) BC cắt DN tại K. Chứng minh: N là trọng tâm của tam giác BDC

1 193 17/02/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: