Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 99)

Đề bài. Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh: $\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{c^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^3}}\ge \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$.

Lời giải:

Đặt $\sqrt{\frac{a}{b}}=x;\sqrt{\frac{b}{c}}=y;\sqrt{\frac{c}{a}}=z$

BĐT cần chứng minh trở thành: x³ + y³ + z³ ≥ x² + y² + z² với xyz = 1

Thật vậy, áp dụng BĐT Côsi:

(x³ + y³ + z³)(x + y + z) ≥ (x² + y² + z²)²

⇔ x³ + y³ + z³ ≥ $\frac{{\left(x^2+y^2+z^2\right)}^2}{x+y+z}\left(1\right)$

Theo BĐT AM-GM có:

x² + y² + z² ≥ xy + yz + xz

⇔ 3(x² + y² + z²) ≥ (x + y + z)²

⇔ x² + y² + z² ≥ $\frac{{\left(x+y+z\right)}^2}{3}\ge \frac{\left(x+y+z\right).3\sqrt[3]{xyz}}{3}=x+y+z$(2)

Từ (1) và (2) suy ra: x³ + y³ + z³ ≥ x² + y² + z² (đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c.