Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n^7 – n chia hết cho 7

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n⁷ – n chia hết cho 7

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n⁷ – n chia hết cho 7.

Lời giải:

Đặt A_n = n⁷ – n.

Khi n = 1 thì A₁ = 0 và chia hết cho 7.

Giả sử đã có A_k = (k⁷ – k) ⋮ 7 (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh A_{k + 1} ⋮ 7, tức là (k + 1)⁷ – (k + 1) ⋮ 7.

Áp dụng công thức Nhị thức Niu – tơn ta có:

A_{k + 1} = (k + 1)⁷ – (k + 1)

= k⁷ + 7k⁶ + 21k⁵ + 35k⁴ + 35k³ + 21k² + 7k + 1 – k – 1

= k⁷ – k + 7(k⁶ + 3k⁵ + 5k⁴ + 5k³ +3k² + k).

Theo giả thiết quy nạp thì A_k = k⁷ – k chia hết cho 7, do đó A_{k + 1} ⋮ 7.

Vậy n⁷ – n chia hết cho 7 với mọi số nguyên n.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: