Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Qua A vẽ đường thẳng d bất kỳ (d không cắt đoạn thẳng BC)

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Qua A vẽ đường thẳng d bất kỳ (d không cắt đoạn thẳng BC). Kẻ BH vuông góc với d, CK vuông góc với d (H, C thuộc d).

a) Chứng minh rằng BH = AK.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: ΔBHM = ΔAKM.

c) Chứng minh ΔMHK vuông cân.

Lời giải:

a)$\widehat{BAH}+\widehat{CAK}=90°$

$\widehat{BAH}+\widehat{HBA}=90°$

Suy ra:$\widehat{CAK}=\widehat{HBA}$

Xét tam giác vuông HBA và KAC có:

$\widehat{BHA}=\widehat{AKC}=90°$

AB = AC (tam giác ABC vuông cân tại A)

$\widehat{HBA}=\widehat{CAK}$

⇒ ∆HBA = ∆KAC (g.c.g)

⇒ BH = AK

b) Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AM là đường phân giác, đường cao

⇒$\widehat{BAM}=\widehat{MAC}$ ;$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

$\widehat{ABC}=\widehat{MAC}=90°-\widehat{ACB}$

Vậy $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=\widehat{MAC}$

Mà theo phần a có: $\widehat{HBA}=\widehat{CAK}$

⇒ $\widehat{ABC}+\widehat{HBA}=\widehat{ACB}+\widehat{CAK}=\widehat{MAC}+\widehat{CAK}$

Hay $\widehat{HBM}=\widehat{MAK}$

Xét tam giác BHM và AKM có:

BM = AM =$\frac{1}{2}BC$

$\widehat{HBM}=\widehat{MAK}$

BH = AK

⇒ ∆BHM = ∆AKM (c.g.c)

c) Theo phần b có: ∆BHM = ∆AKM nên MH = MK (2 cạnh tương ứng) (*)

Xét tam giác MKC và tam giác MHA có:

MH = MK

AH = KC (vì ∆HBA = ∆KAC theo phần a)

MC = MA =$\frac{1}{2}BC$

⇒ ∆MKC = ∆MHA (c.c.c)

⇒$\widehat{KMC}=\widehat{HMA}$

Mà $\widehat{KMC}+\widehat{AMK}=90°$ (vì AM là đường cao của ABC)

Nên: $\widehat{HMA}+\widehat{AMK}=90°$ hay $\widehat{HMK}=90°$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra: tam giác MHK vuông cân tại M.