Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Kẻ đường cao AH

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 104)

Đề bài. Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng tứ giác MNPH là hình thang cân.

Lời giải:

M, N lần lượt là trung điểm AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC ứng với cạnh BC

⇒MN // BC hay MN // HP

⇒ MNPH là hình thang (∗)

Mặt khác:
Tam giác vuông ABH có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $HM=\frac{AB}{2}=MB$ (bổ đề quen thuộc)

⇒ Tam giác MHB cân tại M.

⇒ $\widehat{MHB}=\widehat{MBH}$

Mà $\widehat{NPC}=\widehat{MBH}$ (hai góc đồng vị với NP // AB)

⇒ $\widehat{NPC}=\widehat{MHB}$

⇒ ${180}^{\circ }\mathrm{ }-\widehat{NPC}={180}^{\circ }-\widehat{MHB}$

Hay $\widehat{NPH}=\widehat{MHP}$(**)

Từ (∗); (∗∗) ⇒ MNPH là hình thang cân (đpcm).