Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho vecto BH =1/3 HC

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 534 26/03/2024

Trang trước

Trang sau

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 104)

Đề bài. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho $\vec{B H} = \frac{1}{3} \vec{H C}$ . Điểm M di động nằm trên BC sao cho $\vec{B M} = x \vec{B C}$ . Tìm x sao cho độ dài của $\vec{M A} + \vec{G C}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Dựng hình bình hành AGCE

Ta có: $\vec{M A} + \vec{G C} = \vec{M A} + \vec{A E} = \vec{M E}$

Kẻ EF ⊥ BC (F ∈ BC)

Khi đó $| \vec{M A} + \vec{G C} | = | \vec{M E} | = M E \geq E F$

Do đó $| \vec{M A} + \vec{G C} |$ đạt giá trị nhỏ nhất khi M ≡ F

Gọi P là trung điểm của AC, Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC

Vì AGCE là hình bình hành, P là trung điểm của AC

Suy ra P là trung điểm của GE

Do đó $G P = P E = \frac{1}{2} G E$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC, BP là trung tuyến

Suy ra $B G = \frac{2}{3} B P, G P = \frac{1}{3} B P$

Ta có: BE = BP + PE

Hay $B E = B P + \frac{1}{3} B P = \frac{4}{3} B P$

Xét ∆BPQ và ∆BEF có

$\hat{F B E}$ là góc chung;

$\hat{B Q P} = \hat{B F E} = 90^{\circ}$

Suy ra: ∆BPQ ∽ ∆BEF (g.g)

Do đó $\frac{B P}{B E} = \frac{B Q}{B F} = \frac{3}{4} \Rightarrow \vec{B F} Â = \frac{4}{3} \vec{B Q}$

Xét DAHC có P là trung điểm của AC và AH // PQ (vì cùng vuông góc với BC)

Suy ra Q là trung điểm của CH

Hay $\vec{H Q} = \frac{1}{2} \vec{H C}$ ; mà $\vec{B H} = \frac{1}{3} \vec{H C}$

Ta có:

$\vec{B Q} = \vec{B H} + \vec{H Q} = \frac{1}{3} \vec{H C} + \frac{1}{2} \vec{H C} = \frac{5}{6} \vec{H C} = \frac{5}{6} . \frac{3}{4} \vec{B C} = \frac{5}{8} \vec{B C}$