Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. M, N là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 104)

Đề bài. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. M, N là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC.

a) Biết AH = 3 cm, CH = 4 cm, tính HN và $\widehat{ACB}$ (số đo góc làm tròn đến độ).

b) Chứng minh rằng tam giác ANM đồng dạng với tam giác ABC.

Lời giải:

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AHC vuông tại H:

$\frac{1}{H{N}^2}=\frac{1}{A{H}^2}+\frac{1}{H{C}^2}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}\Rightarrow HN=2,4(cm)$

$\tan \widehat{ ACB}=\tan \widehat{ACH}=\frac{AH}{HC}=\frac{3}{4}$

Suy ra: $\widehat{ACB}\approx {37}^{\circ }.$

b) Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông AHC, AHB có:

AH² = AN.AC; AH² = AM.AB

Suy ra: AN.AC = AM.AB

⇒ $\frac{AM}{AN}=\frac{AC}{AB}$

Xét tam giác AMN và tam giác ABC có:

Chung $\widehat{A}$

$\frac{AM}{AN}=\frac{AC}{AB}$

⇒ ∆AMN ∽ ∆ABC (c.g.c).