Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi E là hình chiếu của H trên AB. a. Biết AE = 3,6 cm; BE = 6,4 cm

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 833 26/03/2024

Trang trước

Trang sau

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 104)

Đề bài. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi E là hình chiếu của H trên AB.

a. Biết AE = 3,6 cm; BE = 6,4 cm. Tính AH, EH và góc $\hat{B}$ (Số đo góc làm tròn đến độ)

b. Kẻ HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh AB.AE = AC.AF.

c. Đường thẳng qua A và vuông góc với EF cắt BC tại D; EF cắt AH tại O.

Chứng minh rằng $S_{A D C} = \frac{S_{A O E}}{\sin^{2} B . \sin^{2} C} .$

Lời giải:

a) Trong tam giác ABH vuông tại H, ta có:

EH² = AE.BE = 3,6.6,4 = 23,04 ⇒ EH = 4,8 (cm)

AH² = AE.AB = 3,6(3,6 + 6,4) = 36 ⇒ AH = 6 (cm)

$s i n \hat{B} = \frac{A H}{A B} = \frac{6}{3, 6 + 6, 4} \Rightarrow \hat{B} = 36, 87^{\circ} \approx 37^{\circ}$

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABH vuông tại H:

AH² = AE.AB

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ACH vuông tại H:

AH² = AF.AC

Suy ra: AB.AE = AC.AF (= AH²)

c) Xét tam giác AEF và tam giác ABC có:

Chung $\hat{A}$

$\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B}$ (từ AB.AE = AC.AF)

⇒ ∆AEF ∽ ∆ACB (c.g.c)

⇒ $\hat{A E F} = \hat{A C B}; \hat{A F E} = \hat{A B C}$

Gọi I là giao điểm AD và EF

Có: tam giác IAF vuông tại I nên $\hat{I A F} + \hat{I F A} = 90^{\circ}$

Tam giác ABH vuông tại H nên $\hat{B A H} + \hat{A B H} = 90^{\circ}$

Mà: $\hat{A F E} = \hat{A B C}$ hay $\hat{I F A} = \hat{A B H}$ nên $\hat{B A H} = \hat{I A F}$

Xét tam giác AOE và ADC có:

$\hat{E A O} = \hat{D A C} (v ì \hat{B A H} = \hat{I A F})$

$\hat{A E F} = \hat{A C B} \Leftrightarrow \hat{A E O} = \hat{D C A}$

Suy ra: ∆AOE ∽ ∆ADC (g.g)

⇒ $\frac{S_{A D C}}{S_{A O E}} = \frac{A C^{2}}{A E^{2}} = \frac{{(\frac{A H}{\sin C})}^{2}}{{(A H . \cos \hat{B A H})}^{2}} = \frac{1}{\sin^{2} C . \cos^{2} \hat{B A H}} = \frac{1}{\sin^{2} C . \sin^{2} B}$