Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC tại H. Gọi E, F, G

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài: Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC tại H. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của AH, BH, CD.

a, Chứng minh tứ giác EFCG là hình bình hành.

b, Chứng minh $\widehat{BEG}=90°$ .

c, Cho biết BH = 4 cm, $\widehat{BAC}=30°$ . Tính S_ABCD; S_EFCG.

Lời giải:

a) Vì E, F theo thứ tự là trung điểm của AH, BH nên EF là đường trung bình trong tam giác ABH

⇒ EF // AB và EF =$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}DC=DG$

Vì AB // DG nên EF // DG

Xét tứ giác EFCG có: EF // DG và EF = DG

Nên EFCG là hình bình hành

b) Lại có: AB ⊥ BC mà EF // AB nên EF ⊥ BC

Mà BF ⊥ AC

Xét trong tam giác BEC có: EF ⊥ BC; BF ⊥ EC nên F là trực tâm của tam giác BEC

Suy ra: CF ⊥ BE (1)

Mà theo phần a có EFCG là hình bình hành nên: EG // CF (2)

Từ (1) và (2): EG ⊥ BE hay $\widehat{BEG}=90°$

c) Sử dụng tỉ số sinA trong tam giác vuông HAB ta có:

$\sin \widehat{A}=\frac{BH}{AB}\Rightarrow AB=\frac{4}{\sin 30°}=8cm$

$\tan \widehat{A}=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

⇒$BC=\frac{8\sqrt{3}}{3}$

AC =$\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$

Lại có: AB² = AH.AC ⇒ AH = AB² : AC = 4$\sqrt{3}$

HC = AC – AH =$\frac{16\sqrt{3}}{3}-4\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Mà AE = EH =$\frac{1}{2}AH=2\sqrt{3}$

Suy ra: EC = HC + EH =$\frac{4\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$

Kẻ EM vuông góc với CD tại M

Có $\widehat{BAC}=\widehat{ACD}=30°$ (2 góc so le trong)

Ta có: sin$\widehat{ACD}=\sin 30°=\frac{EM}{EC}$

⇒ EM =$\sin 30°.\frac{10\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$

S_ABCD = AB.BC =$8.\frac{8\sqrt{3}}{3}=\frac{64\sqrt{3}}{3}\left(c{m}^2\right)$

S_EFCG = EM.EF = EM . $\frac{1}{2}AB=\frac{5\sqrt{3}}{3}.\frac{1}{2}.8=\frac{20\sqrt{3}}{3}\left(c{m}^2\right)$