Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ac = 6

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 99)

Đề bài. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ac = 6. Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge 3$.

Lời giải:

Đặt P = $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}$

Có a, b, c là các số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM có:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{a^3}{b}+ab\ge 2a^2\\ \frac{b^3}{c}+bc\ge 2b^2\\ \frac{c^3}{a}+ac\ge 2c^2\end{array}\right.$

Suy ra: P = $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge 2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)$

Mà a + b + c + ab + bc + ac = 6

⇒ P ≥ 2(a² + b² + c²) + a + b + c – 6

Có (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² ≥ 0

⇒ 2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca)

Suy ra: P ≥ $\frac{2}{3}{\left(a+b+c\right)}^2+\left(a+b+c\right)-6$

Có ab + bc + ca ≤ a² + b² + c²

⇒ 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)²

Do đó: 6 = a + b + c + ab + bc + ac ≤ a + b + c + $\frac{1}{3}{\left(a+b+c\right)}^2$

⇒ $\frac{1}{3}{\left(a+b+c\right)}^2$+ (a + b + c) – 6 ≥ 0

⇒ a + b + c ≥ 3(a + b + c)² ≥ 9

Suy ra: P ≥ $\frac{2}{3}.9+3-6=3$

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.