Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ac = 6

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 138 17/02/2024

Trang trước

Trang sau

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 99)

Đề bài. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ac = 6. Chứng minh rằng: $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 3$ .

Lời giải:

Đặt P = $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a}$

Có a, b, c là các số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM có:

$\{\begin{cases} \frac{a^{3}}{b} + a b \geq 2 a^{2} \\ \frac{b^{3}}{c} + b c \geq 2 b^{2} \\ \frac{c^{3}}{a} + a c \geq 2 c^{2} \end{cases}$

Suy ra: P = $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - (a b + b c + c a)$

Mà a + b + c + ab + bc + ac = 6

⇒ P ≥ 2(a² + b² + c²) + a + b + c – 6

Có (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² ≥ 0

⇒ 2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca)

Suy ra: P ≥ $\frac{2}{3} {(a + b + c)}^{2} + (a + b + c) - 6$

Có ab + bc + ca ≤ a² + b² + c²

⇒ 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)²

Do đó: 6 = a + b + c + ab + bc + ac ≤ a + b + c + $\frac{1}{3} {(a + b + c)}^{2}$

⇒ $\frac{1}{3} {(a + b + c)}^{2}$ + (a + b + c) – 6 ≥ 0

⇒ a + b + c ≥ 3(a + b + c)² ≥ 9

Suy ra: P ≥ $\frac{2}{3} .9 + 3 - 6 = 3$

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Xem thêm các bài giải bộ 15000 câu hỏi Toán hay và chi tiết tại:

Cho a là số thập phân có hai chữ số ở phần thập phân. Biết rằng khi làm tròn a đến hàng đơn vị thì được kết quả là 56. Tìm giá trị lớn nhất của a.

Cô giáo muốn chia 240 bút bi, 210 bút chì và 180 tập giấy thành một số phần thưởng như nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất là bao nhiêu phần thưởng, mỗi phần thưởng có bao nhiêu bút bi, bút chì tập giấy?

Giải phương trình: x² – 4x + 4 = 25

Người ta đã dùng 400 viên gạch hình vuông có cạnh dài 60 cm để lát nền cho một căn phòng hình vuông (coi các mảnh ghép là không đáng kể). Hỏi nền căn phòng hình vuông đó có cạnh dài bao nhiêu mét?

Cho hình thang vuông ABCD (A^=D^=90°), có CD = 2AB, gọi H là hình chiếu của D trên AC, M là trung điểm của HC. Chứng minh BMD^=90°

Tính hợp lý: 5 – (1997 – 2005) + 1997

Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến. Chứng minh:

a. Tam giác ADE cân tại A.

b. ∆ABD = ∆ACE.

c. BCDE là hình thang cân.

Một đợt bán xe đạp ở cửa hàng sau khi giảm giá lần đầu là 10% và lần thứ hai giảm 5% thì bây giờ lại tăng 8%. Biết giá giảm hay tăng tính dựa theo giá đang bán. Hiện tại giá mỗi chiếc xe đạp là 7387200 đồng. Tính giá gốc ban đầu khi chưa tăng giảm của đợt bán xe đạp này.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có: A = 1⁵ + 2⁵ + … + n⁵chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + … + n.

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có A^=3D^. Tính góc A, B, C, D.

Tìm số tiếp theo trong dãy:1; 5; 14; 33; 72; ...

Tính tổng sau: 7²⁰²² – 7²⁰²¹ + 7²⁰²⁰ – 7²⁰¹⁹ + … + 7² – 7.

Cho n thuộc ℕ. Chứng minh rằng n² + n + 1 không chia hết cho 4

Chứng minh 3n + 11 và 3n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n

Cho tam giác ABC cân tại A lấy điểm D bất kì trên AB, lấy điểm E trên tia đối của tia CA sao cho CE = BD. Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F

a) Tam giác DBF là tam giác gì?

b) Chứng minh tứ giác DCEF là hình bình hành.

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD

a) Chứng minh rằng AF // CE.

b) Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của BD và AF, CE. Chứng minh rằng DM = MN = NB.

1 138 17/02/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: