a) (a + b + c)^2 ≤ 3(a^2 + b^2 + c^2

a) (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²

Đề bài: Chứng minh rằng:

a) (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

b) (a + b)² ≤ 2(a² + b²).

Lời giải:

a) Ta có :

(a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

⇔ a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc ≤ 3a² + 3b² + 3c²

⇔ – 2a² – 2b² – 2c² + 2ab + 2ac + 2bc ≤ 0

⇔ – (a – b)² – (b – c)² – (a – c)² ≤ 0

Vì (a – b)² ≥ 0 với mọi a, b

(b – c)² ≥ 0 với mọi b, c

(a – c)² ≥ 0 với mọi a, c

Nên – (a – b)² – (b – c)² – (a – c)² ≤ 0 với mọi a, b, c

Dấu " = " xảy ra khi a = b = c

Vậy (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

b) Ta có: (a + b)² ≤ 2(a² + b²)

⇔ a² – 2ab + b² ≤ 2a² + 2b²

⇔ – a² – 2ab – b² ≤ 0

⇔ – (a + b)² ≤ 0

Vì (a – b)² ≥ 0 với mọi a, b

Nên – (a + b)² ≤ 0 với mọi a, b

Dấu "=" xảy a khi a = – b

Vậy (a + b)² ≤ 2(a² + b²).

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: