Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: y = (2m + 10)x - 4m - 1 và điểm A(-2;3)

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 101)

Đề bài. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: y = (2m + 10)x - 4m - 1 và điểm A(-2;3). Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng lớn nhất.

Lời giải:

Gọi điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua là M(x₀; y₀)

Ta có: (2m + 10)x₀ - 4m - 1 = y₀

⇔ 2mx₀ + 10x₀ – 4m – 1 – y₀ = 0

⇔ 2m(x₀ – 2) + (10x₀ – y₀ – 1) = 0

⇔ $\left\{\begin{array}{l}{x}_0-2=0\\ 10x_0-y_0-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0=2\\ y_0=19\end{array}\right.$

Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua M(2; 19)

Gọi khoảng cách từ A đến d là AH

Xét trong tam giác vuông AHM luôn có: AH ≤ AM

Vậy AH_max khi AH = AM tức AM ⊥ d

Gọi phương trình đường thẳng AM có dạng y = ax + b

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}19=2a+b\\ 3=-2a+b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=11\end{array}\right.$

Vậy AM có phương trình: y = 4x + 11.

Để AM ⊥ d thì 4.(2m + 10) = -1

Suy ra: $m=\frac{-41}{8}$

Vậy $m=\frac{-41}{8}$ thì khoảng cách từ A đến đường thẳng d lớn nhất.