Tìm số tự nhiên n thoả mãn 2.2^2 + 3.2^3 + 4.2^4 + ... + n.2^n = 2^n + 11

Tìm số tự nhiên n thoả mãn 2.2² + 3.2³ + 4.2⁴ + ... + n.2ⁿ = 2ⁿ + 11

Đề bài: Tìm số tự nhiên n thoả mãn 2.2² + 3.2³ + 4.2⁴ + ... + n.2ⁿ = 2ⁿ + 11

Lời giải:

Đặt A = 2.2² + 3.2³ + 4.2⁴ + ... + n.2ⁿ

Ta có: A = 2.2² + 3.2³ + 4.2⁴ + ... + n.2ⁿ

Suy ra 2A = 2(2.2² + 3.2³ + 4.2⁴ + ... + n.2ⁿ)

= 2.2³ + 3.2⁴ + 4.2⁵ + ... + n.2^{n + 1}

Do đó 2A - A = A = 2.2² + (3.2³ - 2.2³) + ... + (n - n + 1).2ⁿ - n.2^{n + 1}

= 2.2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2ⁿ -n.2^{n + 1}

= 2² + (2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2^{n + 1}) - (n + 1) . 2^{n + 1}

Đặt B = 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2^{n + 1}

Suy ra 2B = 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2^{n + 2}

Do đó 2B - B = B = 2^{n + 2} - 2²

⇒ B = 2^{n + 2} - 2² = 2² - 2^{n + 2} + 2² + (n + 1).2^{n + 1}

= (n + 1).2^{n + 1} - 2^{n + 2}

= 2^{n + 1}(n + 1 - 2)

= (n - 1).2ⁿ⁺¹ = 2(n - 1).2ⁿ

Mà A = 2(n - 1).2ⁿ = 2^{n + 11}

⇒ 2(n - 1) = 2¹¹ ⇒ n - 1 = 2¹⁰

⇒ n - 1 = 1024 ⇒ n = 1025

Vậy n = 1025.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: