Chứng minh rằng có vô số bộ ba số tự nhiên (a, b, c) sao cho a, b, c nguyên tố cùng

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 315 02/02/2024

Trang trước

Trang sau

Chứng minh rằng có vô số bộ ba số tự nhiên (a, b, c) sao cho a, b, c nguyên tố cùng

Đề bài: Chứng minh rằng có vô số bộ ba số tự nhiên (a, b, c) sao cho a, b, c nguyên tố cùng nhau và số n = a²b² + b²c² + c²a² là số chính phương.

Lời giải:

Giả sử a, b, c là ba số tự nhiên lẻ liên tiếp có dạng a = 2k – 1, b = 2k + 1, c = 2k + 3, với k ∈ ℕ.

Khi đó bộ ba số tự nhiên (a, b, c) nguyên tố cùng nhau.

Ta có n = a²b² + b²c² + c²a²

= (2k – 1)²(2k + 1)² + (2k + 1)²(2k + 3)² + (2k + 3)²(2k – 1)²

= (4k² – 1)² + (2k + 3)².[(2k + 1)² + (2k – 1)²]

= 16k⁴ – 8k² + 1 + (4k² + 12k + 9).[(2k + 1 + 2k – 1)² – 2(2k + 1)(2k – 1)]

= 16k⁴ – 8k² + 1 + (4k² + 12k + 9).[16k² – 2(4k² – 1)]

= 16k⁴ – 8k² + 1 + (4k² + 12k + 9).(8k² + 2)

= 16k⁴ – 8k² + 1 + 32k⁴ + 8k² + 96k³ + 24k + 72k² + 18

= 48k⁴ + 96k³ + 72k² + 24k + 18 + 1.

Ta có 48; 96; 72; 24; 18 đều chia hết cho 3.

Suy ra 48k⁴; 96k³; 72k²; 24k; 18 đều chia hết cho 3, với k ∈ ℕ.

Khi đó tổng 48k⁴ + 96k³ + 72k² + 24k + 18 chia hết cho 3, với k ∈ ℕ.

Vì vậy 48k⁴ + 96k³ + 72k² + 24k + 18 + 1 chia cho 3 dư 1, với k ∈ ℕ.

Suy ra n là số chính phương.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

Tìm số tự nhiên n thoả mãn 2.2^2 + 3.2^3 + 4.2^4 + ... + n.2^n = 2^n + 11...

Ba khối 6, 7 và 8 lần lượt có 300 học sinh, 276 học sinh và 252 học sinh xếp thành ...

Một sân trường hình chữ nhật có nửa chu vi là 120 m. Chiều rộng bằng ...

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a^2 + b^2 = c^2 + d^2. Chứng minh rằng ...

Cho x + y = 3. Tính giá trị biểu thức: A = x^3 + x^2y – 3x^2 + xy + y^2 – 4y – x + 3 ...

Cho hình vuông, nếu giảm cạnh hình vuông đó đi 7 m thì diện tích giảm đi 84 m2 ...

Tìm cạnh của hình vuông nếu cạnh của hình vuông giảm đi 7 m thì diện tích giảm đi ...

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = –2x^2 + 12x – 11 ...

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x^2 + 12x + 11 ...

a) Nêu cách xác định hình chiếu của một điểm A lên đường thẳng d ...

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh ...

Tìm số nguyên dương n, biết: 121 ≥ 11^n ≥ 1 ...

Thực hiện phép tính: 5^6 : 5^4 + 2^3 . 2^2 – 1^2017 ...

Liệt kê các phần tử của tập hợp sau: a) A = {(x; x^2) | x thuộc {–1; 0; 1 ...

Tính tổng B = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^150 ...

Chứng tỏ rằng B = 1 + 5 + 5^2 + ... + 5^7 + 5^8 chia hết cho 31 ...

Một đội công nhân gồm 40 người đã làm xong đoạn đường dài 1600 m hết 10 ngày ...

Xe thứ nhất chở được 9 tấn xi-măng, xe thứ hai chở ít hơn xe thứ nhất 700 kg ...

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm OO’...

Chứng minh rằng có vô số bộ ba số tự nhiên (a, b, c) sao cho a, b, c nguyên tố cùng ...

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx^4 + (m^2 – 4)x^2 + 2 có đúng một ...

Chọn khẳng định đúng: A. Hai đường tròn phân biệt có thể có hai điểm chung ...

Hình chữ nhật (không phải hình vuông) có hai trục đối xứng là các đường nào ...

So sánh: 78^12 – 78^11 và 78^11 – 78^10 ...

So sánh bằng cách đưa về cùng cơ số: (0,343)^8 và (–0,7)^26 ...

Tìm số bộ (x, y, z, t) nguyên không âm thỏa mãn x + y + z + t = 40 và x, y, z, t là ...

Giải phương trình x^2 + 5x + 3 = 0 ...

Cho phương trình x^2 – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Hãy lập phương trình bậc hai ...

So sánh bằng cách đưa về cùng cơ số: (–0,125)^4 và (0,5)^12 ...

Có 3 bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ 1 đến 3 và 3 con tem giống ...

Phân tích đa thức thành nhân tử: x^2 – x – xy – 2y^2 + 2y ...

Hai đoạn ống nước có chiều dài lần lượt là 0,8 m và 1,35 m. Người ta nối hai đầu ống ...

Lúc 8h một người đi xe đạp chuyển động thẳng đều với vận tốc 12km/h gặp một ...

Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140 kg chất A và 9 kg ...

Tính giá trị biểu thức: (7^5 + 7^9)(5^4 + 5^6)(3^3 . 3 – 9^2 ...

Lớp 10A chọn ra một số học sinh tham gia làm bài khảo sát học sinh giỏi môn Toán ...

Phân tích thành nhân tử: 10x – 25 – x^2 ...

Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với ...

Cho tam giác ABC có các trung tuyến BD và CE . Trên cạnh BC lấy các điểm MN ...

Cho hàm số bậc nhất y = (2m + 1)x + m – 2. Tìm m biết rằng góc tạo bởi đường thẳng ...

Một người vay ngân hàng 30 000 000 (ba mươi triệu) đồng với lãi suất ngân hàng là ...

Bảng giá cước gọi quốc tế của công ty viễn thông A được cho bởi bảng sau ...

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến ...

Tìm số tự nhiên n sao cho 25n + 3 chia hết cho 53 ...

Tổng của 5 số là 600. Tìm số thứ 5, biết rằng số này bằng số trung bình cộng của bốn ...

Tính diện tích tam giác ABC có AB = 3; BC = 5; CA = 6 ...

Bạn An mua một số táo và lê. Biết rằng hiệu bình phương của số táo và lê bằng 41 ...

Rút gọn biểu thức: (x – 3)(x + 3) – (x – 3)^2 ...

Cho tam giác ABC, chứng minh : sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4sinAsinBsinC ...

Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài là 127m, chiều rộng kém chiều dài 29m ...

1 315 02/02/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: