Tìm nghiệm nguyên của phương trình 5(xy + yz + zx) = 4xyz

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 101)

Đề bài. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 5(xy + yz + zx) = 4xyz.

Lời giải:

Xét x = y = z = 0 là nghiệm của phương trình do 0 = 0 (thỏa mãn)

Xét x, y, z đều khác 0 ta có:

5(xy + yz + zx) = 4xyz

⇔ $\frac{5\left(xy+yz+xz\right)}{xyz}=4$

⇔ $5.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=4$

Vì 5 không chia hết cho 4 mà 4 ⋮ 4 nên $\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)⋮4$

Ta có: $\left|x\right|\ge 1\Rightarrow \frac{1}{\left|x\right|}\le 1$

Tương tự: $\left|y\right|\ge 1\Rightarrow \frac{1}{\left|y\right|}\le 1;\left|z\right|\ge 1\Rightarrow \frac{1}{\left|z\right|}\le 1$

Suy ra: $\frac{1}{\left|x\right|}+\frac{1}{\left|y\right|}+\frac{1}{\left|z\right|}\le 3$

Mà $\frac{1}{\left|x\right|}+\frac{1}{\left|y\right|}+\frac{1}{\left|z\right|}\ge \left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\Rightarrow \left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\le 3$

Suy ra: $3\ge \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge -3$

Mà từ 3 đến -3 chỉ có 0 chia hết cho 4 mà x, y, z khác 0 nên vô lí

Vậy phương trình có nghiệm nguyên là x = y = z = 0.