Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, vẽ HE vuông góc AB, HF vuông góc AC

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, vẽ HE vuông góc AB, HF vuông góc AC. Gọi I là trung điểm BC.

a) Chứng minh EF = AH.

b) Chứng minh AI vuông góc EF.

c) Gọi M là trung điểm HB, N là trung điểm HC. Chứng minh EMNF là hình thang vuông.

Lời giải:

a) Ta có $\widehat{E}=\widehat{A}=\widehat{F}=90°$ nên EAFH là hình chữ nhật

Suy ra EF = AH (hai đường chéo của một hình chữ nhật)

b) Tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AI

Suy ra AI = $\frac{1}{2}BC$ = BI = IC

⇒ΔIAB cân tại I nên $\widehat{IAB}=\widehat{IBA}$ (1)

EAFH là hình chữ nhật suy ra EF = AH

Gọi O là giao điểm EF và AH

Suy ra EO = OF = OA = OH hay tam giác EOA cân tại O

Nên $\widehat{OEA}=\widehat{OAE}$(2)

Mà $\widehat{IBA}+\widehat{OAE}=90°$

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{IAE}+\widehat{OEA}=90°$ hay AI ⊥ EF

c) Xét tam giác EBH vuông tại E có EM là trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ EM = MB = $\frac{1}{2}BH$

⇒ ΔEMB cân tại M

⇒ $\widehat{MBE}=\widehat{MEB}$

Mà $\widehat{MBE}+\widehat{ACB}=90°$ (do tam giác ABC vuông tại A)

$\widehat{ACB}=\widehat{AEO}$(=$\widehat{AHO}$ )

⇒ $\widehat{BEM}+\widehat{AEO}=90°$

⇒ $\widehat{MEF}=180°-90°=90°$

Suy ra: ME vuông góc với EF tại E

Chứng minh tương tự: NF vuông góc với EF tại F

Xét tứ giác MEFN có ME ⊥ EF; NF ⊥ EF

Suy ra: ME // NF

⇒ MENF là hình thang

Đồng thời $\widehat{MEF}=\widehat{EFN}=90°$

⇒ MEFN là hình thang vuông tại E và F.