Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH kẻ HE, HF

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 101)

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC

a) Chứng minh ${\left(\frac{AB}{AC}\right)}^2=\frac{HB}{HC}$ .

b) Chứng minh $\frac{EB}{FC}={\left(\frac{AB}{AC}\right)}^3$ .

Lời giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông ABC, AHB, AHC ta có:

AB.AC = BC.AH ⇒ $BC=\frac{AB.AC}{AH}$

AB² = BH.BC

AC² = CH.BC

Xét: ${\left(\frac{AB}{AC}\right)}^2=\frac{HB.BC}{HC.BC}=\frac{HB}{HC}$ (đpcm)

b) Từ AB² = BH.BC ⇒ AB⁴ = BH² . BC² = AB.BE.BC² (vì BH² = AB.BE)

Từ AC² = CH.BC ⇒ AC⁴ = CH² . BC² = AC.CF.BC² ( vì CH² = AC.CF)

Xét: $\frac{A{B}^4}{A{C}^4}=\frac{AB.BE.B{C}^2}{AC.CF.B{C}^2}=\frac{AB.BE}{AC.CF}$

Suy ra: $\frac{EB}{FC}={\left(\frac{AB}{AC}\right)}^3$ .