Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Biết AH/AB=3/5

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Biết $\frac{AH}{AB}=\frac{3}{5}$; AB = 15cm.

a) Tính HB, HC.

b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh: AH³ = BC.BE.CF.

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{AH}{AB}=\frac{3}{5}$ , nên AH = $\frac{3}{5}$ AC

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:

AB.AC = BC.AH

⇔ BC =$\frac{AB.AC}{AH}=\frac{AB.AC}{\frac{3}{5}AC}=\frac{5}{3}AB$

Suy ra: BC = 15.$\frac{5}{3}=25$ (cm)

Lại có: AB² = BC.BH ⇒ BH =$\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{{15}^2}{25}=9\left(cm\right)$

CH = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm).

b) Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông ABC, AHB, AHC ta có:

AB.AC = BC.AH ⇒ $BC=\frac{AB.AC}{AH}$

BH² = AB.BE ⇒ $BE=\frac{B{H}^2}{AB}$

CH² = AC.CF ⇒ $CF=\frac{C{H}^2}{AC}$

Khi đó: $BE.CF=\frac{B{H}^2}{AB}.\frac{C{H}^2}{AC}=\frac{A{H}^4}{AB.AC}$ (Vì AH² = BH.CH)

Vậy BC.BE.CF =$\frac{AB.AC}{AH}.\frac{A{H}^4}{AB.AC}=A{H}^3$ .