Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài. Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N. Gọi H là giao điểm của BN và CM.

a) Chứng minh AH vuông góc với BC.

b) Gọi E là trung điểm AH. Chứng minh bốn điểm A, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn và EM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải:

a) Xét (O) có ΔBMC nội tiếp và BC là đường kính

Do đó: ΔBMC vuông tại M

⇒ BM ⊥ MC tại M

⇒ CM ⊥AB tại M

Xét (O) có ΔBNC nội tiếp và BC là đường kính

Do đó: ΔBNC vuông tại N

⇒ BN ⊥ NC tại N

⇒ BN ⊥ AC tại N

Xét ΔABC có BN, CM là đường cao

BN cắt CM tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

⇒ AH ⊥ BC

b) Xét tứ giác AMHN có: $\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=90°+90°=180°$

nên AMHN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

⇒A, M, H, N cùng thuộc một đường tròn.

Gọi giao điểm của AH với BC là F

Xét ΔABC có: H là trực tâm của ΔABC

F là giao điểm của AH với BC

Do đó: AH ⊥ BC tại F

⇒ ΔAFB vuông tại F

⇒$\widehat{ABF}+\widehat{BAF}=90°$

Mà $\widehat{ABF}+\widehat{MCB}=90°$ (do ΔCMB vuông tại M)

Nên: $\widehat{MCB}=\widehat{BAF}$

Lại có: $\widehat{EMO}=\widehat{EMH}+\widehat{OMH}=\widehat{EMH}+\widehat{OCM}=90°-\widehat{MAH}+\widehat{MCB}=90°$

Vậy EM là tiếp tuyến của (O).