Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Trên AH, AB, AC lần lượt lấy D, E, F

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Trên AH, AB, AC lần lượt lấy D, E, F sao cho $\widehat{EDC}$ = $\widehat{FDB}$ = 90° (E khác B). DE, DF cắt BC lần lượt tại M, N. Chứng minh: EF // BC.

Lời giải:

Kẻ BO vuông góc CD, CM vuông góc BD, BO cắt CM tại I

Suy ra: D là trực tâm của ∆BIC hay DI ⊥ BC

Mặt khác, AH ⊥ BC suy ra I, D, A thẳng hàng

Do $\widehat{EDC}$ = $\widehat{FDB}$ = 90° nên ED ⊥ DC, DF ⊥ DB

Ta có: ED ⊥ DC, BO ⊥ CD, I ∈ BO nên ED // BI

DF ⊥ DB, CM ⊥ BD, I ∈ CM nên DF // CI

Xét ∆ABI với DE // BI, ta có: $\frac{AD}{AI}=\frac{AE}{AB}$ (hệ quả của định lý Thalès)

Xét ∆ACI với DF // CI, ta có: $\frac{AD}{AI}=\frac{AF}{AC}$ (hệ quả của định lý Thalès)

Suy ra: $\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$

Xét tam giác ABC có $\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$ nên EF // BC (định lý Thalès đảo).