Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có các đường cao BD và CE

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có các đường cao BD và CE.

a, Cho góc A = 60 độ và AC = 12cm, tính AE và CE.

b, Tia DE cắt BC ở F. Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC.

c, Chứng minh FB.FC = FE.FD.

Lời giải:

a) Ta có: $\sin \widehat{A}=\frac{CE}{CA}\Rightarrow CE=AC.\sin \widehat{A}=6\sqrt{3}$

AE =$\sqrt{A{C}^2-C{E}^2}=6$

b) Xét ΔADB, ΔAEC có:

Chung $\widehat{A}$

$\widehat{D}=\widehat{E}=90°$

⇒ ΔADB ∽ ΔAEC(g.g)

⇒$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$

Mà $\widehat{DAE}=\widehat{BAC}$

⇒ ΔADE ∽ ΔABC (c.g.c)

c) Từ câu b: ΔADE ∽ ΔABC suy ra: $\widehat{AED}=\widehat{ACB}$

⇒ $\widehat{FEB}=\widehat{AED}=\widehat{ACB}=\widehat{FCD}$

Mà $\widehat{EFB}=\widehat{DFC}$

Xét ΔFBE và ΔFDC có:

$\widehat{EFB}=\widehat{DFC}$

$\widehat{FEB}=\widehat{FCD}$

⇒ ΔFBE ∽ ΔFDC(g.g)

⇒$\frac{FB}{FD}=\frac{FE}{FC}$

⇒ FB.FC = FD.FE.