Cho tam giác ABC đều cạnh a. Lấy hai điểm M, N thoả mãn

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Lấy hai điểm M, N thoả mãn $\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AN}$ . Gọi E là giao điểm của AM và CN. Chứng minh EB vuông góc với EC.

Lời giải:

Gọi a là độ dài cạnh tam giác đều ABC.

Vì E thuộc CN nên tồn tại x, y sao cho x + y = 1 (1)

Với $\overrightarrow{BE}=x\overrightarrow{BN}+y\overrightarrow{BC}=\frac{2x}{3}\overrightarrow{BA}+3y\overrightarrow{BM}=\frac{2x}{3}\overrightarrow{BA}+y\overrightarrow{BC}$

Vì E thuộc AM nên $\frac{2x}{3}+3y=1\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra: $x=\frac{6}{7};y=\frac{1}{7}$

Vậy $\overrightarrow{BE}=\frac{4}{7}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{7}\overrightarrow{BC}$

Mặt khác: $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$

Khi đó: $\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CN}=\left(\frac{4}{7}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{7}\overrightarrow{BC}\right)\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}\right)$

$=\frac{8}{21}.\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CA}+\frac{4}{21}\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CB}+\frac{2}{21}\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}+\frac{1}{21}\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CB}$

=$a^2\left[\frac{8}{21}.\frac{1}{2}+\frac{4}{21}.\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{21}.\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{21}\right]=0$

Vậy BE vuông góc CN hay EB vuông góc với EC.