Cho tam giác ABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến

Cho tam giác ABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến

Đề bài: Cho tam giác ABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau là b² +  c² = 5a².

Lời giải:

Gọi G  là giao điểm của hai trung tuyến BM, CN.

Áp dụng công thức tính trung tuyến, ta có:

• $G{B}^2=\frac{4}{9}B{M}^2=\frac{1}{9}\left(2a^2+2c^2-b^2\right)$ ;

• $G{C}^2=\frac{4}{9}C{N}^2=\frac{1}{9}\left(2a^2+2b^2-c^2\right)$ .

BM và CN vuông góc với nhau khi BG² + CG² = BC².

$\iff \frac{1}{9}\left(2a^2+2c^2-b^2\right)+\frac{1}{9}\left(2a^2+2b^2-c^2\right)=a^2$

Û 4a² + b² + c² = 9a²

Û b² +  c² = 5a².

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: