Cho tam giác ABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để ABC cân là

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài: Cho tam giác ABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để ABC cân là

.$\frac{1}{2}\left(\tan A+\tan B\right)=\frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}$

Lời giải:

Khi đó ta có: VP =$\frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}$

$=\frac{2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}}{2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}}=\frac{\sin \frac{A+B}{2}}{\cos \frac{A+B}{2}}=\frac{\sin \left(90°-\frac{C}{2}\right)}{\cos \left(90°-\frac{C}{2}\right)}=\frac{\cos \frac{C}{2}}{\sin \frac{C}{2}}=\cot \frac{C}{2}$

VT = $\frac{1}{2}\left(\tan A+\tan B\right)=\frac{1}{2}.\frac{\sin \left(A+B\right)}{\cos A.\cos B}=\frac{\sin C}{\cos \left(A-B\right)+\cos \left(A+B\right)}$$\ge \frac{\sin C}{1-\cos C}=\frac{2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}}{2{\sin }^2\frac{C}{2}}=\cot \frac{C}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi cos(A – B) = 1 hay $\widehat{A}=\widehat{B}$ , tức tam giác ABC cân tại C.