Cho phương trình x^2 – (m – 3)x – 5 = 0, m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 là các số nguyên

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài: Cho phương trình x² – (m – 3)x – 5 = 0, m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ là các số nguyên.

Lời giải:

Δ = (–m + 3)² – 4.(–5) = m² – 6m + 9 + 20 = m² – 6m + 29 = (m – 3)² + 20 > 0

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ là các số nguyên thì trước hết Δ phải là một số chính phương.

Giả sử (m – 3)² + 20 = k² với k nguyên

⇒ k² – (m – 3)² = 20

⇔ (k – m – 3)(k – m + 3) = 20

Do (k – m – 3) + (k – m + 3) = 2k chẵn nên chúng cùng tính chẵn lẻ.

Mà 20 là số chẵn nên (k – m – 3) + (k – m + 3) cùng là số chẵn

Suy ra: ⇔ .