Cho nửa đường tròn (O). Đường kính AB = 6 cm. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía đối với nửa đường tròn đối với AB

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài: Cho nửa đường tròn (O). Đường kính AB = 6 cm. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía đối với nửa đường tròn đối với AB. Gọi C là một điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CE với nửa đường tròn (E là tiếp điểm), CE cắt By tại D.

a) Chứng minh $\widehat{COD}=90°$ .

b) Chứng minh AEB và COD đồng dạng.

c) Gọi I là trung điểm của CD. Vẽ đường tròn (I) bán kính IC. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của (I).

Lời giải:

a) Ta có: $\widehat{AOI}+\widehat{BOI}=180°$ (2 góc kề bù)

OC là tia phân giác $\widehat{AOI}$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

OD là tia phân giác $\widehat{BOI}$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: $\widehat{ECO}=\widehat{OCA};\widehat{EDO}=\widehat{ODB}$

Xét tam giác ACO và tam giác CEO có:

Chung CO

$\widehat{ECO}=\widehat{OCA}$

AC = CE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Nên: ∆ACO = ∆ECO (c.g.c)

⇒ $\widehat{COA}=\widehat{COE}$

Chứng minh tương tự, ta có: ∆DOE = ∆DOB (c.g.c)

⇒ $\widehat{DOE}=\widehat{DOB}$

Mà: $\widehat{DOE}+\widehat{DOB}+\widehat{COA}+\widehat{COE}=180°$

⇒$2\left(\widehat{DOE}+\widehat{COE}\right)=180°$

Hay $\widehat{DOE}+\widehat{COE}=90°$ , tức $\widehat{DOC}=90°$

b) Ta có: $\widehat{AEB}=\frac{1}{2}\widehat{CEO}+\frac{1}{2}\widehat{DEO}=\frac{1}{2}\widehat{DEC}=90°$

$\widehat{CDO}=\widehat{EBA}$(cùng chắn cung OE)

Xét ∆AEB và ∆COD có:

$\widehat{CDO}=\widehat{EBA}$

$\widehat{COD}=\widehat{AEB}=90°$

Suy ra: ∆AEB ~ ∆COD (g.g)

c) I là trung điểm của CD, kẻ IO

Ta có: DB ⊥ AB

AC ⊥ AB

⇒ DB // AC

⇒ CDBA là hình thang

⇒ OI là đường trung bình do nối 2 cạnh bên của hình thang

⇒ OI // AC

Mà AC ⊥ AB nên OI ⊥ AB

Vậy AB là tiếp tuyến của (I;IC)