Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao h, góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao h, góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60

Đề bài: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao h, góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60°. Tính thể tích hình chóp ?

Lời giải:

Gọi O = AC ∩ BD

Vì chóp S.ABCD đều nên SO ⊥ (ABCD)

Đặt SA = SB = SC = SD = a

∆SCD có: SC = SD; $\widehat{CSD}=60°\Rightarrow \Delta SCD$ đều ⇒ CD = SC = SD = a

⇒ Hình vuông cạnh ABCD cạnh a ⇒ AC = BD = $a\sqrt{2}\Rightarrow OC=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ OC ⇒ ∆SOC vuông tại O

$\Rightarrow SO=\sqrt{S{C}^2-O{C}^2}\Rightarrow h=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow a=h\sqrt{2}$

$\Rightarrow S_{ABCD}=a^2={\left(h\sqrt{2}\right)}^2=2h^2$

Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SO.S_{ABCD}=\frac{1}{3}h.2h^2=\frac{2h^3}{3}$ .

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: