Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD

Đề bài: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD, O là trung điểm của CD, $AD=4a,SA=SB=SO=2a.$  Tính khoảng cách giữa SA và CD.

Lời giải:

Gọi I, N là trung điểm của AD, AB. Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO, vì tam giác ABI đều nên H thuộc NI.

Kẻ HK vuông góc CD, dựng hình bình hành AECD. Gọi F là giao điểm của BO và AE.

Ta có: $AF\text{// }CD,$ nên $d(SA,CD)=d(CD,(SAF\left)\right)=d(O,(SAF\left)\right).$

Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD, nên tam giác BIC và CID là các tam giác đều, do đó ta có:

$\begin{array}{l}AC=\sqrt{{\left(4a\right)}^2-{\left(2a\right)}^2}=2a\sqrt{3}\\ CO=\frac{1}{2}CD=a\\ AO=\sqrt{A{C}^2+C{O}^2}=\sqrt{12a^2+a^2}=a\sqrt{13}\\ BO=\sqrt{B{C}^2+C{O}^2-2BC.CO.{\text{cos120}}^0}=\sqrt{4a^2+a^2+2a^2}=a\sqrt{7}\\ S_{\Delta ABO}=\frac{(2a+4a).a\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}.2a.\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}.4a.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}.\end{array}$

Suy ra

 $\begin{array}{l}AH=\frac{2a.a\sqrt{7}.a\sqrt{13}}{4.\frac{3a\sqrt{3}}{2}}=\frac{a\sqrt{273}}{9}.\\ SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{4a^2-\frac{273a^2}{81}}=\frac{a\sqrt{51}}{9}.\end{array}$

Diện tích $S_{\Delta AFO}=2S_{\Delta ABO}=3a^2\sqrt{3}.$

Thể tích của khối chóp S. AFO là: $V_{S.AFO}=\frac{1}{3}SH.S_{AFO}=\frac{a^3\sqrt{153}}{9}.$

Diện tích tam giác SAF:

$SA=2a,AF=3a\Rightarrow S{B}^2=\frac{S{O}^2+S{F}^2}{2}-\frac{F{O}^2}{4}\Rightarrow SF=3a\sqrt{2}\Rightarrow S_{\Delta SAF}=\frac{a^2\sqrt{119}}{4}.$

Vậy $d(SA,CD)=d(CD,(SAF\left)\right)=d(O,(SAF\left)\right)=\frac{3V_{O.SAF}}{S_{\Delta SAF}}=\frac{3\frac{a^3\sqrt{153}}{9}}{\frac{a^2\sqrt{119}}{4}}=\frac{2a}{\sqrt{7}}.$

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: