Cho hình bình hành ABCD. Đặt véc tơ AB = véc tơ a, véc tơ AD = véc tơ b

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 101)

Đề bài. Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{CG}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ .

Lời giải:

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Do đó BO là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc trung tuyến BO của tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm ta có: $BG=\frac{2}{3}BO$

Mà $BO=\frac{1}{2}BD$ nên $BG=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}BD=\frac{1}{3}BD$

Hai vectơ $\overrightarrow{BG},\overrightarrow{BD}$ cùng hướng và $BG=\frac{1}{3}BD$ nên $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$

Ta có: $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AG}=-\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{AG}=-\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}\right)=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$