Cho đường tròn (O) đường kính AB, E thuộc đoạn AO (E khác A, O và AE > EO)

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài. Cho đường tròn (O) đường kính AB, E thuộc đoạn AO (E khác A, O và AE > EO). Gọi H là trung điểm của AE , kẻ dây CD vuông góc với AE tại H.

a) Tính góc $\widehat{ACB}$ ?

b) Tứ giác ACED là hình gì?

c) Gọi I là giao điểm của DE và BC. Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính EB?

Lời giải:

a) Vì $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{ACB}=90°$

b) Xét (O) có:

OH là một phần đường kính

CD là dây

OH ⊥ CD tại H

Do đó: H là trung điểm của CD

Xét tứ giác ECAD có

H là trung điểm của đường chéo CD

H là trung điểm của đường chéo EA

Do đó: ECAD là hình bình hành

Mà EA ⊥ CD

Nên ECAD là hình thoi

c) ACED là hình thoi nên DE //AC

Mà AC ⊥ BC nên DE ⊥ BC

Suy ra: DI ⊥ BC

⇒ $\widehat{EIB}=90°;\widehat{CID}=90°$

Xét tam giác CID vuông tại I có IH là trung tuyến

⇒ IH$=\frac{1}{2}CD=DH$

⇒ ∆DHI cân tại H ⇒ $\widehat{HID}=\widehat{EBI}$

Gọi M là trung điểm BE

Suy ra: IM là trung tuyến của ∆IBE vuông tại I.

⇒ IM =$\frac{1}{2}BE=BM$

⇒ ∆MBI cân tại M

⇒ $\widehat{MBI}=\widehat{MIB}=\widehat{EBI}=\widehat{HID}$

Ta có: $90°=\widehat{EIB}=\widehat{B\mathrm{I}M}+\widehat{E\mathrm{I}M}=\widehat{HID}+\widehat{EIM}=\widehat{H\mathrm{I}M}$

Suy ra: HI ⊥ IM tại I.

Vì IM = EM = BM = và HI ⊥ IM nên HI là tiếp tuyến của $\left(M;\frac{EB}{2}\right)$.