Cho ΔABC, gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong. Qua I vẽ đường thẳng

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 256 02/02/2024

Trang trước

Trang sau

Cho ΔABC, gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong. Qua I vẽ đường thẳng

Đề bài: Cho ΔABC, gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong. Qua I vẽ đường thẳng vuông góc AI cắt AB, AC tại M, N. Chứng minh rằng:

a) $\frac{B M}{C N} = \frac{B I^{2}}{C I^{2}}$

b) BM.AC + CN.AB + AI² = AB.AC

Lời giải:

Tài liệu VietJack

a) Xét tam giác AIM vuông tại I có: $\hat{A M I} = 90 ° - \frac{1}{2} \hat{A} = \frac{1}{2} (180 ° - \hat{A}) = \frac{1}{2} (\hat{B} + \hat{C})$

$\Rightarrow \hat{B M I} = 180 ° - \hat{A M I} = 180 ° - \frac{1}{2} (\hat{B} + \hat{C})$

Xét tam giác BIC, có: $\hat{B I C} = 180 ° - \frac{1}{2} (\hat{B} + \hat{C})$

$\Rightarrow \hat{B M I} = \hat{B I C}$

Xét ∆BMI và ∆BIC, có:

$\hat{B M I} = \hat{B I C}$ (cmt)

$\hat{M B I} = \hat{I B C}$

⇒ ∆BMI ̴ ∆BIC (g – g)

$\Rightarrow \frac{B M}{B I} = \frac{B I}{B C} \Leftrightarrow B I^{2} = B M . B C$

Chứng minh tương tự ta có ∆CNI ̴ ∆CIB (g – g)

$\Rightarrow \frac{C N}{C I} = \frac{C I}{C B} \Leftrightarrow C I^{2} = C N . C B$

$\Rightarrow \frac{B I^{2}}{C I^{2}} = \frac{B M}{C N}$ .

b) Từ cm trên suy ra :△BMI ∼ △INC

$\Rightarrow \frac{B M}{I N} + \frac{M I}{N C}$

⇒ BM.CN = MI.NI

ta có : △AMN là tam giác cân

⇒ MI = NI

⇒ BM.CN = IM²

ta lại có : △AIM vuông

⇒ IM²= AM²– AI²

⇒ BM.CN = AM²– AI²

= AM.AN – AI²= (AB − BM)(AC − CN) – AI²

= AB.AC − AB.CN − BM.AC + BM.CN – AI²

⇒ BM.AC + CN.AB + AI²= AB.AC.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

Cho tam giác ABC, M, N, P được xác định bởi vecto $\vec{M A} = - \frac{3}{4} \vec{B M}, \vec{A N} = - 3 \vec{C N}, \vec{C P} = \frac{1}{4} \vec{P B}$ ...

Cho a,b khác -2 thỏa mãn (2a + 1) (2b + 1) = 9...

Chứng minh các bất đẳng thức: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$ ...

Cho a lớn hơn 0 và b lớn hơn 0. Chứng minh rằng: $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (a + b) \geq 4$ ...

Trên bàn cờ 5 x 4 ô vuông như hình vẽ, người chơi chỉ được di chuyển...

Căn bậc hai của (a – b)^2 là...

Rút gọn $\sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}}$ ...

Tìm x: $3^{2 x} - 3^{x} = 72$ ...

$2^{x} + 2^{x} + 1 = 72 (x \in N)$ . Tìm x...

Cho $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ . Tính giá trị biểu thức P...

Cho a, b, c khác nhau đôi một và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ ...

Cho tam giác ABC cân tại A, AM là đường cao. Gọi N là trung điểm của AC...

Hai số có hiệu là 95. Nếu xóa bỏ chữ số 5 ở tận cùng của số lớn thì ta được số bé...

Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 25 em học giỏi môn Toán, 23 em học giỏi môn Lý...

Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 15 bạn được xếp lực học giỏi...

Hình nón được tạo thành như thế nào? Nếu đặt mặt đáy của hình nón...

Nếu đặt mặt đáy của hình nón song song với mặt phẳng chiếu cạnh thì hình chiếu đứng...

Cho tam giác ABC đều. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB, BC...

Cho ΔABC, gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong. Qua I vẽ đường thẳng...

Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Gọi M, N...

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm A (−1; 2) đến đường thẳng...

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số...

Có tam giác ABC vuông tại A đg cao AH, E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC...

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm; AC = 4 cm, đường cao AH...

Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và khi x = 9 thì y = - 15...

Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, khi x = 10 thì y = 5 vậy khi x = - 5 thì giá trị...

Giải các phương trình sau: $x^{2} - 6 x + \sqrt{x^{2} - 6 x + 7} = 5$ ...

Tìm các cặp số nguyên x,y thỏa mãn x³ – 6x² + 12x = y³ + 27...

Tính $\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} - 3 x + 9} . \frac{x^{3} + 27}{3 x - 9}$ ...

Phân tích thành nhân tử: x^3 + y^3 + z^3 − 3xyz...

Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a bằng...

Phân tích đa thức thành nhân tử: A = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) − 24...

Khai triển (a + b + c)^2; (a + b − c)^2; (a − b − c)^2...

Tính tổng: F = 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2...

Phân tích đa thức x^5 − 3x^4 + 3x^3 − x^2 thành nhân tử...

Một bạn sinh viên tham gia một kì thi qua 3 vòng thi. Xác suất để bạn sinh viên này...

Trong tập số tự nhiên, tìm các ước của 4, của 6, của 9, của 13 và của 1...

Phân tích đa thức sau thành nhân tử x^3 – 7x – 6...

Cho hai tập khác rỗng: A = (m – 1; 4], B = (−2; 2m + 2); với m ∈ ℝ...

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O, đường kính BC...

Phân tích đa thức x^4 + 4 thành nhân tử...

Giải phương trình (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) = 24...

Tìm bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong các bất phương trình sau và chỉ ra một nghiệm...

Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn x + 2y ≥ 0...

Phân tích x^5 – x^4 – x^3 – x^2 – x – 2 thành nhân tử...

Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng nào sau đây...

Phân tích thành nhân tử A = (a + b + c)^3 – (a + b – c)^3 – (b + c – a)^3 – (c + a – b)^3...

Tìm GTNN của biểu thức C = x^2 – 4xy + 5y^2 + 10x – 22y + 28...

Ba bạn A,B,C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1; 17...

Một lớp có 45 học sinh. Mỗi em đều đăng ký chơi ít nhất một trong hai môn...

Phân tích đa thức x^2 – 6x + 8 thành nhân tử ta được...

a) 8x^3 – 12x^2 + 6x – 1 = 0...

Nêu công thức xác suất đầy đủ...

Tìm GTLN của biểu thức A = 5 – 8x – x^2...

Tìm số nguyên dương n để n^5 + 1 chia hết cho n^3 + 1...

Phân tích đa thức thành nhân tử. x^5 + x^4 + 1...

Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E trên cạnh AB, điểm F trên cạnh CD sao cho AE = CF...

Số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x^3 – mx^2 + (m^2 – 2m)x...

Cho tập A ={1; 2} và B ={1; 2; 3; 4; 5}. Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa mãn (A ⊂ X ⊂ B

Đổi biến u = sinx thì...

1 256 02/02/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: