cho a b c là độ dài 3 cạnh tam giác chứng minh a/(b c–a) b/(a c–b) c/(a b–c) >= 3

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài: Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác.

Chứng minh rằng A = $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3$ .

Lời giải:

Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác nên: $\frac{a}{b+c-a};\frac{b}{a+c-b};\frac{c}{a+b-c}>0$

A =$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}$

⇔$A+\frac{3}{2}=\frac{a}{b+c-a}+\frac{1}{2}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{1}{2}+\frac{c}{a+b-c}+\frac{1}{2}$

⇔$A+\frac{3}{2}=\frac{a+b+c}{2\left(b+c-a\right)}+\frac{a+b+c}{2\left(a+c-b\right)}+\frac{a+b+c}{2\left(a+b-c\right)}$

⇔$A+\frac{3}{2}=\frac{a+b+c}{2}\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)$

⇔$A+\frac{3}{2}\ge \frac{a+b+c}{2}.\frac{9}{b+c-a+a+c-b+a+b-c}$

⇔$A+\frac{3}{2}\ge \frac{a+b+c}{2}.\frac{9}{b+c-a+a+c-b+a+b-c}$

⇔ A ≥ 3 (đpcm).