Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 1,615 02/02/2024

Trang trước

Trang sau

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng

Đề bài: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b^{2} + 1} + \frac{b}{c^{2} + 1} + \frac{c}{a^{2} + 1} \geq \frac{3}{2}$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

$\frac{a}{b^{2} + 1} = a - \frac{a b^{2}}{b^{2} + 1} \geq a - \frac{a b^{2}}{2 b} = a - \frac{a b}{2} \frac{b}{c^{2} + 1} = b - \frac{b c^{2}}{c^{2} + 1} \geq b - \frac{b c^{2}}{2 c} = b - \frac{c b}{2} \frac{c}{a^{2} + 1} = c - \frac{c a^{2}}{a^{2} + 1} \geq c - \frac{c a^{2}}{2 a} = c - \frac{a c}{2}$

Cộng ba vế bất đẳng thức lại ta được:

$\frac{a}{b^{2} + 1} + \frac{b}{c^{2} + 1} + \frac{c}{a^{2} + 1} \geq a + b + c - (\frac{a b + b c + a c}{2})$

Ta có: $a b + b c + a c \leq \frac{{(a + b + c)}^{2}}{3} = \frac{9}{3} = 3$

$\Rightarrow \frac{a}{b^{2} + 1} + \frac{b}{c^{2} + 1} + \frac{c}{a^{2} + 1} \geq 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

Cho A = (0,2) và B = (1,4), tìm CR(A ∪ B) và CR(A ∩ B...

Tìm A giao B, A hợp B...

x^2 – 4xy + 4y^2 – 25...

Giải phương trình: sin^3x + cos^3x = 0...

Cho sinx + cosx = 1/2 . Tính giá trị của biểu thức A...

Tìm hệ số của x^6 trong khai triển (1/x + x^3)^(3n+1)...

Phân tích đa thức ab(a + b) – bc(b + c) – ac(c – a) thành nhân tử, ta được...

Cho biểu thức A = (căn x + 2) / (1 + căn x)...

Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm, có vô số nghiệm...

Tìm m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm...

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng...

Nghiệm của phương trình sinx.cosx = 1/2 là...

Giải phương trình lượng giác: 2cos^2(2x) – 3cos2x + 1 = 0...

Có 8 cái bút khác nhau và 9 quyển vở khác nhau được gói trong 17 hộp...

Tính 2^n + 2^(n+3) = 72...

Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, AC = b...

Với giá trị nào của a và b thì đa thức x^3 + ax^2 + 2x + b chia hết cho đa thức...

Cho 1/a + 1/b + 1/c = 1/(a + b + c)...

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có các cạnh đối diện không song song...

Tìm x, y biết (x + căn (x^2 + 1)).(y + căn (y^2 + 1)). Tính x + y ...

Cho 2 số thực x, y thỏa mãn (x + căn (x^2 + 1)).(y + căn (y^2 + 1)) = 1...

Cho đa giác n đỉnh (n ≥ 6), hỏi có bao nhiêu tứ giác có hai cạnh là 2 cạnh đa giác...

Trong ABC có các cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện: (a + b + c)(a + b – c...

Tập hợp tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = (x + 4) / (x + m)...

Cho hai hàm số y = x^2 và y = mx + 4, với m là tham số...

Vẽ đồ thị hàm số y = 2x, cách giải chi tiết, giải thích vì sao lại như thế...

Cho hàm số: y = 2, y = |x + 1|, y = 2mx + m + 1...

Giải phương trình lượng giác: cos^3x + sin^3x = cos2x...

Một chiếc cổng hình parabol dạng y = -x^2 / 2...

Nghiệm của phương trình: sin^4x – cos^4x = 0 là...

Tìm điều kiện để biểu thức xác định: căn (x^2 + 2x + 3)...

Chứng minh tan alpha = sin alpha / cos alpha...

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx + cosx...

Tính giá trị biểu thức: B = x^3 – 9x^2 + 27x – 27 với x = 5...

Kết quả của phép tính: 25x^2 / 17y^4 . 34y^5 / 15x^3...

12 người làm xong một công việc trong 4 ngày. Hỏi 16 người làm xong công việc...

Giải phương trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8...

Chứng minh rằng số có dạng n^6 – n^4 + 2n^3 + 2n^2...

A giao (B hợp C) = (A giao B) hợp (A giao C...

Quan hệ tương đương là gì...

1 1,615 02/02/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: