Cho a, b >0 thỏa mãn a + b ≤ 1. Tìm GTNN của

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 167 20/02/2024

Trang trước

Trang sau

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 101)

Đề bài. Cho a, b >0 thỏa mãn a + b ≤ 1. Tìm GTNN của $P = a^{2} + b^{2} + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$ .

Lời giải:

$P = (a^{2} + \frac{1}{16 a^{2}}) + (b^{2} + \frac{1}{16 b^{2}}) + \frac{15}{16} (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}})$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

$a^{2} + \frac{1}{16 a^{2}} \geq \frac{1}{2}; b^{2} + \frac{1}{16 b^{2}} \geq \frac{1}{2}; \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{2}{a b} = \frac{4}{2 a b}$

Mặt khác: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{4}{a^{2} + b^{2}}$

Suy ra: $2 (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}) \geq 4 (\frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{2 a b}) \geq 4. \frac{4}{a^{2} + b^{2} + 2 a b} = \frac{16}{{(a + b)}^{2}} = 16$

Suy ra: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq 8$

Vậy $P \geq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{15}{16} .8 = \frac{17}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi: $\{\begin{cases} a = b \\ a + b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$ .

Xem thêm các bài giải bộ 15000 câu hỏi Toán hay và chi tiết tại:

Cho A = (2m - 1; 2m + 3) và B = (-1; 1).

Cho A = [1;2], B = [m; m + 2]. Tìm m để B là tập con của của A.

Cho A = 3 + 3² + 3³ + … + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰. Hỏi 2A + 3 có phải là số chính phương không?

Cho hai tập hợp A = (-1;2] và B = {x ∈ R| mx ≥ 1} (với m là tham số thực). Xác định tất cả giá trị của tham số m để A ∩ B = ∅.

Giả sử a, b là 2 số thực phân biệt thỏa mãn: a² + 3a = b² + 3b = 2. Chứng minh rằng a³ + b³ = -45.

Cho các số thực a, b, c sao cho a + b + c = 3; a² + b² + c² = 29 và abc = 11. Tính a⁵ + b⁵ + c⁵.

Cho a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = 25; c² + d² = 16; ac + bd ≥ 20. Tìm max a + d.

Cho 2 số thực dương a, b thỏa mãn a² + 2ab + 2b² – 2b = 8.

Chứng minh rằng 0 < a + b ≤ 3.

Cho a, b, c là 3 số nguyên dương thỏa mãn tổng của 160 và bình phương của a bằng tổng của 5 và bình phương của b. Tổng của 320 và bình phương của a bằng tổng của 5 và bình phương của c. Tìm a

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(1;3); B(-2;2); C(-1;-3). Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

Cho a và b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 5 dư 1; b chia cho 5 dư 4. Chứng minh ab + 1 chia hết cho 5.

Tìm GTLN của a² + b² + c² biết a, b, c thỏa mãn 1 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 6.

Cho a + b + c = 0 và a² + b² + c² = 1. Tính a⁴ + b⁴ + c⁴.

Cho hình bình hành ABCD. Vẽ AE ⊥ BC tại E, DF ⊥ AB tại F. Biết AE = DF. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thoi.

Cho A = 5 + 5² + … + 5²⁰²². Tìm x để 4A + 5 = 5^x.

Cho A = 3³.2².19. Hỏi các số 27; 4; 16; 19; 24 có là ước của A không?

Cho A = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁴⁸. Chứng minh rằng A chia hết cho 2, 3, 7.

Một sân trường hình chữ nhật có nửa chu vi là 120 m. Chiều rộng bằng chiều dài. Hỏi diện tích của sân trường đó bằng bao nhiêu mét vuông, bao nhiêu ha?

Một cung lượng giác trên đường tròn định hướng có độ dài bằng một nửa bán kính. Số đo theo rađian của cung đó là?

Cho ∆ ABC nhọn, đường cao AH. Kẻ HE ⊥ AB (E ∈ AB), HF ⊥ AC (F ∈ AC).

a) Chứng minh: ∆AEH ∽ ∆AHB. Từ đó suy ra AH² = AE.AB.

b) Chứng minh AE. AB = AF.AC.

c) Cho chu vi các ∆AEF và ∆ACB lần lượt là 20 cm và 30 cm. Tính diện tích ∆AEF và ∆ACB biết diện tích ∆ACB lớn hơn diện tích ∆AEF là 25 cm².

1 167 20/02/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: