Cho a, b >0 thỏa mãn a + b ≤ 1. Tìm GTNN của

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 101)

Đề bài. Cho a, b >0 thỏa mãn a + b ≤ 1. Tìm GTNN của $P=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$ .

Lời giải:

$P=\left(a^2+\frac{1}{16a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{16b^2}\right)+\frac{15}{16}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

$a^2+\frac{1}{16a^2}\ge \frac{1}{2};b^2+\frac{1}{16b^2}\ge \frac{1}{2};\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge \frac{2}{ab}=\frac{4}{2ab}$

Mặt khác: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge \frac{4}{a^2+b^2}$

Suy ra: $2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\ge 4\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)\ge 4.\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{16}{{\left(a+b\right)}^2}=16$

Suy ra: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge 8$

Vậy $P\ge \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{15}{16}.8=\frac{17}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi: $\left\{\begin{array}{l}a=b\\ a+b=1\end{array}\right.\iff a=b=\frac{1}{2}$ .