Cho A = 2 + 2^2 +....... + 2^60. a) Thu gọn tổng A

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 101)

Đề bài. Cho A = 2 + 2² +....... + 2⁶⁰.

a) Thu gọn tổng A.

b) Chứng tỏ rằng: A chia hết cho 3, 5, 7.

Lời giải:

a) A = 2 + 2² +....... + 2⁶⁰

2A = 2² + 2³ +....... + 2⁶¹

2A – A = (2² + 2³ +....... + 2⁶¹) – (2 + 2² +....... + 2⁶⁰)

A = 2⁶¹ – 2.

b) A = 2 + 2² +....... + 2⁶⁰

A = (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) +....... + (2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2(1 + 2) + 2³(1 + 2) + … + 2⁵⁹(1 + 2)

A = (1 + 2)(2 + 2³ + … + 2⁵⁹)

A = 3.(2 + 2³ + … + 2⁵⁹) ⋮ 3

Lại có: A = 2 + 2² +....... + 2⁶⁰

A = (2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ....... + (2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2(1 + 2 + 2²) + 2⁴(1 + 2 + 2²) + … + 2⁵⁸(1 + 2 + 2²)

A = (1 + 2 + 2²)(2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸)

A = 7.(2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸) ⋮ 7

Lại xét: A = 2 + 2² +....... + 2⁶⁰

A = (2 + 2² + 2³ + 2⁴)+ ....... + (2⁵⁷ + 2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2(1 + 2 + 2² + 2³) + … + 2⁵⁷(1 + 2 + 2² + 2³)

A = (1 + 2 + 2² + 2³)(2 + … + 2⁵⁷)

A = 15.(1 + 2 + 2² + 2³)

A = 3.5.(1 + 2 + 2² + 2³) ⋮ 5

Vậy A ⋮ 3, 5, 7.