Cho 1/2 + 1/3 + 1/4....+ 1/100 . Chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên.

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài: Cho $A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\mathrm{...}+\frac{1}{100}$ . Chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên.

Lời giải:

Để quy đồng ta sẽ chọn mẫu chung tích các thừa số nguyên tố chung và riêng (hay ta tìm BCNN của mẫu)

Ta chọn mẫu chung là 2⁶.3.5.7.9.99

Gọi k₁; k₂; …; k₁₀₀ là các thừa số phụ tương ứng, do đó A có dạng:

A =$\frac{k_1+k_2+\mathrm{...}+k_{100}}{2^6\mathrm{.3.5.7.9....99}}$

Trong 100 phân số của tổng A chỉ có phân số duy nhất $\frac{1}{64}$ chứa 2⁶ nên trong các thừa số phụ chỉ có k₆₄ là số lẻ, còn lại các thừa số phụ đều là số chẵn.

Nên tử số không chia hết cho 2, trong khi mẫu số chia hết cho 2.

Do đó phân số A không phải là số tự nhiên.