a=[1–1/(1+ 2)] .[1–1/(1 + 2 + 3)] . [ 1–/(1+ 2 +3 ..+ 2006 )

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài. Thực hiện phép tính $\left(1-\frac{1}{1+2}\right)\left(1-\frac{1}{1+2+3}\right)\mathrm{...}\left(1-\frac{1}{1+2+3+\mathrm{...}+2006}\right)$ .

Lời giải:

Ta xét tổng quát: $1-\frac{1}{1+2+3+\mathrm{...}+n}=1-\frac{1}{\frac{n.\left(n+1\right)}{2}}=1-\frac{2}{n\left(n+1\right)}=\frac{n^2+n-2}{n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}$

Khi đó ta có:

$\left(1-\frac{1}{1+2}\right)\left(1-\frac{1}{1+2+3}\right)\mathrm{...}\left(1-\frac{1}{1+2+3+\mathrm{...}+2006}\right)$

$=\frac{1.4}{2.3}.\frac{2.5}{3.4}\mathrm{....}\frac{2005.2008}{2006.2007}$

$=\frac{\left(\mathrm{1.2.3...2005}\right).\left(\mathrm{4.5.6....2008}\right)}{\left(\mathrm{2.3.4....2006}\right).\left(\mathrm{3.4.5....2007}\right)}=\frac{1.2008}{2006.3}=\frac{2008}{6018}$