Tìm x, y, z là các số dương biết (x mũ 2 + 1)(y mũ 2 + 4)(z mũ 2 + 9) = 48xyz

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 104)

Đề bài. Tìm x, y, z là các số dương biết (x² + 1)(y² + 4)(z² + 9) = 48xyz.

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

x² + 1 ≥ $2\sqrt{x^2}=2x$

y² + 4 ≥ $2\sqrt{4y^2}\mathrm{ }=4y$

z² + 9 ≥ $2\sqrt{9z^2}\mathrm{ }=6z$

Suy ra: (x² + 1)(y² + 4)(z² + 9) ≥ 2x.4y.6z = 48xyz

Mà theo giả thiết (x² + 1)(y² + 4)(z² + 9) = 48xyz

Nên dấu “=” xảy ra khi: $\{\begin{array}{c}{x}^2=1\\ y^2=4\\ z^2=9\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=1\\ y=2\\ z=3\end{array}$ (vì x, y, z > 0).