Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Tìm số tự nhiên n để: n^2021 + n^2020 + 1 là số nguyên tố

    Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

    1 1,675 02/02/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Tìm số tự nhiên n để: n2021 + n2020 + 1 là số nguyên tố

    Đề bài: Tìm số tự nhiên n để: n2021 + n2020 + 1 là số nguyên tố.

    Lời giải:

    Ta có:

    n2021 + n2020 + 1

    = n2021 ‒ n2 + n2020 ‒ n + n2 + n +1

    = n2(n2019 ‒ 1) + n(n2019 ‒ 1) + (n2 + n +1)

    = (n2 + n)(n2019 ‒ 1) + (n2 + n +1)

    = n(n + 1)(n2019 ‒ 1) + (n2 + n +1)                                 (1)

    Để ý rằng, 2019 chia hết cho 3 và 2019 = 3.673

    Nên nếu đặt A = n3 thì n2019 = A673

    Mặt khác áp dụng hằng đẳng thức sau:

    ak ‒ bk = (a ‒ b)(ak‒1 + ak‒2b1 + ak‒3b2 +...+ a1bk‒2 + bk‒1)

    Ta có: n2019 ‒ 1 = A673 ‒ 1 = A673 ‒ 1673 = (A ‒ 1)(A672 + A671 + ... + A1 + 1)

    ⇒ n2019 ‒ 1 ⋮ (A ‒ 1) hay n2019 ‒ 1 ⋮ (n3 ‒ 1)

    Mà n3 ‒ 1 = (n ‒ 1)(n2 + n +1) ⇒ n2019 ‒ 1 ⋮ (n2 + n +1)         (2)                 

    Từ (1) và (2) ⇒ n2021 + n2020 + 1 ⋮ (n2 + n +1)        

    Như vậy để n2021 + n2020 + 1 là một số nguyên tố thì có hai trường hợp:

    1. n2 + n +1 = 1, trường hợp này không xảy ra do n > 0 (giả thiết)

    2. n2021 + n2020 + 1 = n2 + n +1 hay n2020(n + 1) = n(n + 1) ⇒ n(n + 1)(n2019 ‒ 1) = 0

    Do n > 0 nên n2019 ‒ 1 = 0 ⇒ n = 1

    Thử lại ta có: n2021 + n2020 + 1 = 12021 + 12020 + 1 = 3 là số nguyên tố.

    Vậy n = 1 là đáp án cần tìm.                     

    Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:  

    Cho đa thức P(x) = x2 + bx + c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết đa thức...

    So sánh 4^30 và 3.24^10...

    Tìm số tự nhiên n để: n^2021 + n^2020 + 1 là số nguyên tố...

    Tìm số nguyên tố p sao cho p + 8 và p + 16 đều là các số nguyên tố...

    Tìm tất các giá trị thực của tham số m để phương trình (m – 2)x + m² – 3m +2 = 0...

    Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số...

    Từ các chữ số của tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; 5}, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có...

    Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số...

    Chứng minh rằng x^5 ‒ x + 2 không là số chính phương với mọi x thuộc...

    Xác định tham số m để hàm số y = f(x) = 3msin4x + cos2x là hàm số chẵn...

    5 phút bằng một phần mấy của giờ...

    Cho tam giác ABC có E là trung điểm của AC. Qua E kẻ ED // AB (D thuộc BC...

    Cho tam giác ABC vuông ở A và hình vuông BCDE. Chứng minh rằng: AB + AC...

    Chứng minh 5^2n−1.2^n+1 + 3^n+1.2^2n−1 chia hết cho 38...

    Chứng minh nếu n^2 chia hết cho 9 thì n chia hết cho 3 (với n là số tự nhiên...

    Tìm số thích hợp để điền vào dãy số sau: 3; 17; 59; 185; 563...

    Một khu đô thị hình chữ nhật được vẽ trên bản đồ 1: 30000. Trên bản đồ chiều dài...

    Thống kê điểm kiểm tra môn Toán của một lớp 10 có 22 học sinh nữ và 20 học sinh...

    Một đội sản xuất chuẩn bị gạo đủ cho 120 công nhân ăn trong 30 ngày...

    Giải phương trình sau: (2x + 3) (x + 2)^2 (2x + 5) = 315...

    Cho a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng: a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 3.(ab ‒ cd).(c + d...

    Cho tam giác ABC có M ∈ BC. Kẻ MN song song với AB (N ∈ AC) và MP // AC...

    Tìm m để đa thức x^3 + y^3 + z^3 + mxyz chia hết cho đa thức x+ y + z...

    Lớp 10A có 45 học sinh, trong đó 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán...

    Tìm x, biết: 3x(x ‒ 1) + x ‒ 1 = 0...

    Nêu mệnh đề phủ định và xét tính đúng sai của mệnh đề sau: A: “Với mọi n ∈ ℕ*...

    Tính: 1,4 × 10...

    Cho hàm số (c) có y = f(x) = x^2 ‒ 2x + 3. Viết phương trình tiếp tuyến với (c) tại...

    Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số đôi một khác nhau, trong đó các chữ số 1, 2, 3...

    Một đội công nhân 9 người trong một ngày đắp được 60 mét đường...

    Một cửa hàng có 480 thùng hàng, mỗi thùng nặng 65kg. Cửa hàng đã bán được 300...

    Nhân dịp lễ 20/10, shop thời trang Gumac giảm giá 40% cho các mặt hàng...

    Với giá trị nào của x thì đa thức dư trong mỗi phép chia sau có giá trị bằng: (x^5 + 2x^4...

    Cho tứ giác ABCD có hai góc đối ở đỉnh B và D cùng bằng 90°. Gọi O là trung điểm...

    Tứ giác có hai góc đối bằng 90° có phải là hình chữ nhật không...

    Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau...

    Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết...

    Cho định lí “Cho số tự nhiên n, nếu n^5 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5...

    Viết các số (0,25)^8 và (0,125)^4 dưới dạng các lũy thừa với cơ số 0,5...

    Tính hợp lý: (10^2 + 11^2 + 12^2) : (13^2 + 14^2...

    Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y^2 = x(x + 1)(x + 7)(x + 8...

    Đố bạn chỉ với 12 que diêm (hay 12 chiếc que có độ dài bằng nhau) mà xếp được thành 6...

    Cho n là số tự nhiên. Chứng minh: 5^2n+1 + 2^n+4 +2^n+1 chia hết cho 23...

    Cho nửa hình tròn H như hình vẽ, đường kính hình tròn là 12cm...

    Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó chứa các chữ số 3, 4, 5...

    Một kho gạo có 60 tấn gạo tẻ và gạo nếp trong đó số gạo nếp bằng...

    Một cỗ bài có 52 quân, mỗi chất cơ, rô, nhép, bích đều có 13 quân. Có bao nhiêu cách lấy...

    Tháng 2 năm nào đó có 5 ngày thứ Năm. Hỏi ngày 1 tháng đó là thứ mấy...

    Cho 3 điểm A, B, C bất kì và một điểm O khác điểm A, B, C. Có bao nhiêu tia gốc O và...

    Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, biết BH = 9 cm, CH = 16 cm. Tính độ dài...

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 1,675 02/02/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: