Chứng minh 5^2n−1.2^n+1 + 3^n+1.2^2n−1 chia hết cho 38

Chứng minh 5²ⁿ⁻¹.2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹.2²ⁿ⁻¹ chia hết cho 38

Đề bài: Chứng minh 5²ⁿ⁻¹.2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹.2²ⁿ⁻¹ chia hết cho 38.

Lời giải:

Đặt A = 5²ⁿ⁻¹.2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹.2²ⁿ⁻¹

Với n = 1, ta có B = 5.4 + 9.2 = 38 chia hết cho 38 hay B ⁝ 38.

Giả sử B ⁝ 38 khi n = k, ta cần chứng minh B ⁝ 38 khi n = k + 1.

Đặt a = 5²ⁿ⁻¹.2ⁿ⁺¹; b = 3ⁿ⁺¹.2²ⁿ⁻¹

Ta có: a + b = 38c, c nguyên

Với n = k + 1 thì B = 50a + 12b = 38a + 12(a + b)

Mà 38a ⁝ 38 và a + b ⁝ 38

Suy ra 12(a + b) ⁝ 38

⇒ B ⁝ 38 (đpcm).

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: